01极限与连续讲稿8月31日

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1、全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）引　　言一、试题结构：选择题：10小题，每小题4分，共40分填空题：10小题，每小题4分，共40分解答题：8题，共70分二、新旧大纲的区别：1．增加概率论初步；2．函数部分不再单独命题；3．间断点的类型不再要求；4．中值定理也不再要求；5．取消二重积分的内容，而增加二元函数的条件极值。第一章　　极限和连续近三年考试分析：年　份因式分解　法重要极限公式分子分母同除代入法左（右）极限等　价无穷小连　续合计2002年4分4分4分4分162003年4分8分4

2、分4分202004年10分4分4分4分22一、数列极限：1．定义：对于数列｛｝，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当趋于无穷大时，数列｛｝以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作：。2．运算法则：如果，，则（1）加减法：（2）乘法：浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）（1）除法：当时，例1．求数列的极限。解：　例2．计算：解：∴错解：　　　＝　　　＝0例3．计算：（2001年考试题）解：二、函数的极限：1．定义：对于函数

3、，如果当无限趋于时，函数无限趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A。记作：2．极限存在的充要条件：例1．设，判断当时，极限是否存在？浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）解：，∴　　例1．设，求当，函数左极限、右极限，并判断其极限是否存在？解：，∴　　　　即当时，函数的极限不存在。2．运算法则：如果，，则（1）加减法：（2）乘　法：（3）除　法：当时，二、无穷小量和无穷大量：1．无穷小量：对于函数，如果自变量在某个变化过

4、程中，函数的极限是0，则称在这个变化过程中，为无穷小量，记作：2．无穷大量：对于函数，如果自变量在某个变化过程中，函数值的绝对值　越来越大且可以无限地增大，则称在该变化过程中，为无穷大量。3．性质：（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。　　　　　（2）有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量。　　　　　（3）有限个无穷小量的积是无穷小量。4．当时，下列都是等价无穷小量：（1）～～（2）～～（3）～～（4）～～（5）～浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升

5、本《高等数学》（二）讲稿（2005年）（6）～（7）～（8）－1～一、两个重要极限公式：1．，但2．二、求极限的常用方法：(1)代入法：例1．求极限：解　　练习：（1）（答案：）　　　（2）（答案：5）（2）因式分解法：例2．求极限：　解：　练习：（1）（答案：27）（2）（答案：5）浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）（3）（答案：）（2002年试题）（3）有理化法：①分子有理化法：例3．求极限：解：练习：（答案：2）

6、②分母有理化：例4．求极限解：练习：（答案：4）③分子分母同时有理化：例5．求极限：解：＝2练习：求极限：（答案：）　（4）同除以分子分母中最高次数的项：浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）例6．求极限：解：　练习：（1）（答案：）（2003年试题）　　　（2）（答案：0）（3）（答案：0）注：对于两个多项式函数的商的极限有下面结论：例7．解：（5）利用无穷小量的性质：（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）例8．求极限

7、解：练习：（1）（答案：1）　　　（2）（答案：0）（6）利用重要极限公式：浙江·杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）公式1：例9．求极限：解：练习：（1）（答案：2）（2002年试题）（2）（答案：2）　　（3）（答案：）公式2：例10．求极限：解：练习1.（答案：）2．（答案：）（2001年试题）3．（答案：2）（2001年试题）4．（答案：）（2003年试题）（7）换元法：例11．求极限：解：设，则当时，，且∴　　浙江·

8、杭州·建德·新安江·陈胜明-9–电话：13777445493全国成人高考入学考试—专升本《高等数学》（二）讲稿（2005年）例12．求极限：解：设，则当时，，且∴　　练习：一、函数的连续性：1．定义1：若，则在处连续。2．定义2：若满足以下三个条件之一，则称在处不连续，点为的一个间断点。（1）在处，没定义；（2）在处，的极限不存在；（3）在处，的极限存在，但例1．求函数的