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1、第二章极限与连续我们在第一章已经介绍，微积分课程研究的对象是函数，而研究函数的工具就是极限。极限是微积分学的基本概念之一，是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础，是区别于高等数学和初等数学的显著标志.本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法，并在此基础上介绍与极限概念密切相关的函数连续性的基本知识。§2.1数列的极限极限概念是由于社会生产实践中求某些实际问题的精确解而产生的.早在公元3世纪，我国古代著名数学家刘徽曾提出用圆内接正多边形的面积近似计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作该圆的内接正六
2、边形，其面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；……，继续下去，每次边数加倍，第n个内接正6边形的面积记为（）.这样，就得到一系列正多边形的面积：，，，...，，...它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也就越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，终究只是正多边形的面积，还不是圆的面积.因此，设想当n无限增大（记为读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限趋近于某个确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积
3、.而这个确定的数值在数学上称为上面这一列有次序的数（即数列），，，...，，...当时的极限.这样，我们从直观上得到了数列极限的概念.定义2.1以正整数集为定义域的函数按排列的一列数，称为一个无穷数列，简称数列，记为.其中称为数列的通项或一般项，正整数称为数列的下标.数列的例子：79例2．1数列：1，例2．2数列：2，例2．3数列：2，0，例2．4数列：-1，1，-1，1，...例2．5数列观察上列数列会发现，当下标n无限增大时（记为），各数列取值的变化趋势大致可以分为两类：一类是当时，无限趋近于某个确定的常数，如例2.1、例2.3中的无限趋近于数0(记
4、为),例2.2中的无限趋近于1（）.另一类数列则无此特点,如例2.4、例2.5中的不趋近于某个确定的常数.一般，设有数列和常数A，若当时，无限趋近于常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或（如果数列有极限，则称是收敛的，否则称是发散的.如例2.1、2.2、2.3中的都是收敛的，它们的极限分别为：，，而2.4、2.5中的极限不存在，所以它们都是发散的.上面几例，仅仅对数列的极限作了一些直观的分析.为了精确表明“无限增大”，“无限接近”的含义，我们对作进一步的分析。直观上看，随着n的不断增大，=与0无限接近程度可以用小于某个正数来表示.若令要使<
5、，只要n>10时，都能满足与0的距离小于即对于以后的任意一项，，...都能满足79<；如果再取一个更小的正数，要使<，只要n>100以后的任意项，，...都能满足<；......由此可见，对于=，无论事先任意给定的正数多么小，在n无限增大的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，有<.而存在的那个时刻如何确定？一般，对于任意小的正数，要使=<，即当n>=N（存在的时刻）时，数列从第N+1项起以后所有项都能满足<，此时，我们说数列以0为极限.由此我们可以给出数列极限的严格分析定义:定义2.2设有数列和常数A.如果对于任意给定的>0，总存在正整数N，使
6、得当n>N时，有不等式<成立，则称常数A为数列的极限，或者称数列收敛于A.记为或（定义2.2也称为数列极限的“—N”分析定义.为了表示的方便,引入记号“”表示任意给定的或者对每一个,记号“”表示存在.于是,数列极限定义可表达为:>0,正整数N,当n>N时,有<.对数列极限分析定义应注意以下两点:(1)正数是任意给定的，用来刻划与A的接近程度,可以理解为它要多小就有多小.另一方面,一经给定,就视为不变的,以便确定N.(2)正整数N的存在性用来刻划总有那么一个时刻(n>N)及以后,使<成立.N与有关,一般说来，越小，相应的N就越大,所以N不唯一.数列极限分析
7、定义的几何意义.若数列以常数A为极限，表示对于任意给定的正数79，总存在正整数N，使从点开始，其以后的无穷个点，，...都落在以A为中心、为半径的邻域(A-，A+)内，而至多有N个点落在该邻域之外.如图2.1.图2.1.数列极限的分析定义并未提供如何求数列极限的方法，但利用该定义可以证明某个数是不是数列的极限.例2．6证明证对于任意给定的>0，要使<<成立，只要n>即可.所以取N=，则当n>N时，即n>，就有<<恒成立，由定义2.2知，.例2.7已知,利用”—N”分析定义证明数列的极限是0.证对>0,要使<<,只要n>-1(设<1),所以,取N=,则当n
8、>N时，就有<.利用数列极限分析定义,可以证明下列两个数列极限:(1)(<1)(
