[理学]第二章 极限与连续

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1、第二章极限与连续本章主要向大家介绍以下几方面内容：一、数列的极限三、变量的极限五、极限的运算法则六、两个重要极限七、函数的连续性二、函数的极限四、无穷大量和无穷小量定义设函数un=f(n),其中n为正整数,一、数列的极限那么按自变量n增大的顺序排列的一串数f(1),f(2),f(3),,f(n),,称为数列,记作{un}或数列un.……若数列un满足un≤un+1(n=1,2,···)或un≥un+1(n=1,2,···)，则分别称{un}为单调递增数列或单调递减数列，这两种数列统称为单调数列.若存在一个常数M>0，使得

2、un

3、

4、≤M(n=1,2,···)恒成立,或存在两个数M和m，使得m≤un≤M(M称为上界,m称为下界)，则称数列un为有界数列，或称数列有界；例如{un}:为单调递减数列;为单调递增数列；是有界数列，但不是单调数列.又如而前面三个数列都有一种共同的现象，即当n无限变大时，它们都无限地接近于1，这就是极限现象.显然，数列un无限地接近于1，可用数列un与1之差的绝对值可以任意地小来描述.如果用符号e表示任意小的正数，那么就可用

5、un-1

6、

7、un-1

8、

9、限变大时，数列un无限接近于一个常数A的极限现象可定义如下：定义如果当n无限变大时，数列un与A之差的绝对值小于任意小正数e，即

10、unA

11、N就表示了这个意思，N表示了n无限变大的程度，

12、恒有

13、un－A

14、N时，点un都落在点A的e邻域内，而不管e有多么小(如图)，形象一点讲，数列un会密集在点A的周围.AA-eA+euN+1uN+2Ox如果把数列un中每一项都用数轴Ox上一个点来表示，那么数列un趋向于A可解释为:定理1若数列收敛，则数列有界.并非所有数列都是有极限的，例如当n→∞时,它们均不与一个常数A无限接近，所以这些数列没有极限,没有极限的数列称为发散数列或称数列发散.返回本章目录二、函数的极限当x无限接近于1时，显然，当x1时,趋向于什么？函数

15、一般地，当x无限接近于x0时，函数f(x)趋向于A的定义如下：定义如果当x无限接近于x0时，恒有

16、f(x)-A

17、

18、x-x0

19、<

20、d.d表示x与x0接近的程度.这样，就是指，当0<

21、x-x0

22、

23、f(x)-A

24、

25、x-x0

26、

27、f(x)-A

28、

29、f(x)的右极限(或左极限)，记作即显然x→x0时，f(x)的极限存在的充分必要条件是：f(x)在x0处的左、右极限存在且相等.例1试求函数≤≤解(1)因为函数f(x)在x=0处左、右极限存在但不相等，所以当x→0时，f(x)的极限不存在.(2)因为函数f(x)在x=1处左、右极限存在而且相等，所以当x→1时，f(x)的极限存在且自变量x除了x→x0的变化过程外，还有其他的变化过程，也是指当x>N(N是充分大的正数)时，恒有

30、f(x)-A

31、

32、A+e和y=A-e，A+eAA-eNyOx不管它们之间的距离有多么小，当x变到充分大之后即x>N时，曲线y=f(x)落在这两条直线之间.前者是指当-x无限变大时，f(x)趋向于A，而后者是指例如例2解例3解解例4设函数求例2,3和4说明了下列几种重要现象：(1)函数f(x)在