取样定理的证明及其应用

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1、取样定理及其应用测控五班穆可汗学号：3013-202-136引言：取样定理论述了在一定条件下，一个连续信兮完全町以用离散样木值表示、这些样木值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样木位可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供Y理论依据。所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续倌号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t)、它是对信号进行数字处理的笫一个环节。、定理证明:设的频谱为离散信号X(n)的频谱为由连续信号

2、傅立叶变换和序列傅立叶变换可知:di~l(/)—,X(e)e(la)(2)在(1)式屮令t=nT(T为吋域取样周期，取样频率fs=l/T)，可得:xJnT)=x(n)=2tt-X7T2tt/2r-7/7T对(3)式作变量代换，令'^+了，可得:oc772ttdiT7T.■■厂X77rXa，卒）］nTT1令对⑷整理可得,■77xI令£⑴（5）Z7T^771r=-»/对比（2）式和（5）式可得XXf、岭YX』（呼^~）J⑹上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从屮可以看出，由迕续信号的频谱可以通过以下两

3、步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水T•轴上的尺度展缩，信号的最高角频率巾0变化到第二步，对频谱图以2n的整数倍为间隔进行平移，然后进行卺加，其幅值变为原来的1/T。由以上过程可知，只要即原迕续信号的最高频率则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定现得证。二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计数裾采集足获得信息的一种基本手段。随着信息科学技术的迅速发展,它已经成为信息领域巾不可缺少的部分。随若科技的不断进步，人们对数据采集

4、系统的要求也越来越高，不仅耍求取样的精度高，数据转换速度快，还耍求其有抗干扰能力。高速数据采集系统主要包括儿个部分：前端凋理电路，高ZZZ速ADC，吋钟电路，微处理器以及电源等组成。文中提Hi—种以NiosII为核心控制器，基于带通取样的高速数据采集系统，并设计了系统中各个部分的硬件电路。1.倍号前端处理电路运川带通取样定理进行数裾采集时为了防止引起信兮混叠，可以采川抗混叠滤波器來解决，即在取样前先进行滤波，得到想要的带通信号，再进行収样，所以在信号前端处理电路中耍采用抗混叠滤波器进行滤波处理。一般情况下

5、，抗混叠滤波器是低通滤波器。最简单就是一阶KC低通滤波器。如果在一级KC低通滤波器电路的输出端再加1个电压跟随器，使之与负载很好的隔离开，就构成了1个简单的一阶有源低通滤波器。系统采用的是四阶巴特沃斯低通滤波电路，艽电路图如下罔所示。2.高速ADC采样电路ADC选用一款高速A/D转换芯片ADC08D1000。该芯片足具有双通道结构，低功耗，高速8位A/D转换芯片，单通道的最高取样率达到1.3Gsps,在500MHz信号输入的惜况卜*实际奋效位数是7.4位。该芯片采川1.9V供电，满负荷工作的时候功耗为1.

6、6W左右。芯片内部集成了1:2的DMUX（Demultiplexer）能够将ADC采集到的数据暂时缓存一个周期，然后和卜*-•个周期取样的数据一起输出，所以这样数据输出的传输速率就会减小一半，形成4路500Mbps的8位并行数裾输出。它还可以进行双边沿取样（DES）,增益调节，A校正等。由于ADC的取样信号输入为差分方式，所以在信号进入ADC08D1000前,要将信兮经过差分放大器（AD8132）将其转换为差分信兮，这时需要保持ADC的丼模输出电压Vconi和差分放人器AD8132的共模输出电压一致。电路

7、图如下图所示。f4=1.高速ADC采样电路A/D转换器的粘度越高,输入频率越高，则吋钟抖动限制的倌噪比将占主要因素。A/D转换器的信噪比和模拟输入频率时钟信号的时序准确性町以直接影响ADC的动态特性，为减少这种影响，ADC的时钟必须具冇非常低的时序抖动或者相位噪声。所以高质虽的时钟源是保证ADC系统精度的关键。在器件的选择上尤其要关注芯片引入的抖动，根裾抖动和ADC信噪比的关系：aperture5A7?db=20x式屮：oT为总抖动；Oelk为取样吋钟的抖动；Oaperture为ADC的孔径科动；fin为

8、输入信号频率。取样吋钟的抖动和倍噪比的关系可以山卜式导出：(relk//、iSNR•V(27T/：n)2xlOTF(r2aperture当ADC08D1000工作在取样频率1GHz,输入信兮为允许敁高频率时，若耍达到44dBA勺SNR设计指标，就要求此时的时钟抖动小于15ps.所以在器件选取的电路的设计上，必须严格分析器件的抖动，以保证整个吋钟路劲引入的总抖动小于15ps.系统采川1CS8430-61专用时钟芯片产生吋钟倌号。