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1、目录摘要1关键词1Abstract1KeyWords1前言11预备知识11.1关于确界的定义11.2极限的定义21.3区间套的定义21.4聚点的定义31.5有限覆盖的定义32关于实数完备性的基本定理32.1确界定理32.2单调有界定理42.3区间套定理42.4聚点定理和致密性定理52.5有限覆盖定理52.6柯西收敛准则5结语6参考文献6关于实数完备性的基本定理摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举
2、出相关实例以说明.关键词：实数；完备性BasicTheoremsofRealNumberCompletenessAbstract:Thispapermainlydiscussesthebasictheoremsoncompletenessofreal,includingtheoremofsupremum,monotoneboundedtheorem,theoremofnestedinterval,finitecoveringtheorem,theoremofaccumulationpointand
3、compacttheorem,Cauthyconvergencecriterion,andsomerelatedexamplestoillustrate.KeyWords:Realnumber;Completeness前言数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科
4、学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.1预备知识1.1关于确界的定义设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切都有，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集.设S是R中的一个数集.若数满足：(i)对一切
5、，有，即是S的上界；(ii)对任何，存在，使得，即又是S的最小上界，则称数为数集S的上确界，记作设S是R中的一个数集.若数满足：(i)对一切，有，即是S的下界；(ii)对任何，存在，使得，即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作上确界与下确界统称为确界.1.2极限的定义设为数列,为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或，读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.1.3区间套的定义设闭区间列具有如下性质：(i),n=1,2,…；(ii
6、),则称为闭区间套，或简称区间套.1.4聚点的定义设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）.若的任何邻域上都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点.对于点集S，若点的任何邻域上都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点.若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点.1.5有限覆盖的定义设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的
7、，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.2关于实数完备性的基本定理2.1确界定理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.例1设A,B为非空数集，满足：对一切和有.证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且证由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界.对任何，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知，是数集A的最小上界，故有.而此式
8、又表明数是数集B的一个下界，故由下确界定义证得.2.2单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2设.证明:收敛.证显然是递增数列.因为当时，…=+<+<=,以及，所以故是有界的.根据单调有界定理可知数列是收敛的.2.3区间套定理若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，n=1,2,…，即，n=1,2,…推论：若(n=1,2,…)是区间套所确定的点，则对任给的，存在N>0,使得当n>N时有注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.例3证明：若在
