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1、第九章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理§1关于实数集完备性的基本定理授课方式：课堂讲授教学时数：2学时教学目的与要求：理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。教学重点与难点：正确理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。教学过程：前面我们由确界存在定理证明了单调有界定理.下面由单调有界定理证明闭区间套定理、再证明聚点定理、柯西收敛准则和有限覆盖定理,最后证明确界存在定理.这样就证明了这些定理的等价性.它们都是刻画实数集完备性(连续性)的基本定理,它们使极限理论乃
2、至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上.一区间套定理定义9.1.1设闭区间列具有如下性质:(ⅰ):(ⅱ),则称为闭区间套,或简称区间套.这里性质(ⅰ)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式:.定理9.1.1(区间套定理)若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,即.证由闭区间套的定义知,为单调递增有上界的数列,为单调递减有下界的数列,依单调有界定理,与都收敛,设,则有.由区间套定义的条件(ⅱ)可得,所以.再证是唯一的.设数也满足,则我们有8第九章实数的完备性§1关于实数集完
3、备性的基本定理.由区间套的条件(ⅱ)得.▋推论若是区间套所确定的点,则对任给的,存在,使得当时有.需要指出的是:区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.对于开区间列,如,虽然其中的各个开区间也是前一个包含后一个,且,但不存在属于所有开区间的公共点.二聚点定理与致密性定理定义9.1.2设为数轴上的点集,为定点(它可以属于,也可以不属于).若的任何邻域内都含有中无穷多个点,则称为点集的一个聚点.例如,点集有两个聚点和:点集只有一个聚点:区间内的一切点及点都是的聚点.而正整数集没有聚点:任何有限集也无聚点.
4、聚点的另外两个等价定义如下:定义9.1.2′对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为的一个聚点.定义9.1.2″若存在各项相异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.关于以上三个定义的等价性证明,我们简述如下.定义9.1.2定义9.1.2′是显然的,定义9.1.2″定义9.1.2也不难得到:现证定义9.1.2′定义9.1.2″.设为(按定义9.1.2′)的聚点,则对任给的,存在.令,则存在:令,则存在,且显然:……8第九章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理令,则存在,且显然与互异.无限地重复以上步骤,得
5、到中各项互异的数列,且由下面我们用区间套定理来证明聚点定理.定理9.1.2(魏尔斯特拉斯聚点定理)实数轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.证因为为有界点集,故,使得,记.现将等分为两个子区间.因为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有中无穷多个点,记此子区间为,则,且.再将等分为两个子区间.因为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有中无穷多个点,记此子区间为,则,且.将此等分子区间的过程无限地进行下去,得到一个区间列,它满足,,即是区间套,且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一点,
6、于是由定理9.1.1的推论,对任给的,存在正整数,当时,有.从而内含有中无穷多个点,按定义9.1.2,为的一个聚点.▋推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证设为有界数列.若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若数列不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由魏尔斯特拉斯聚点定理,点集至少有一个聚点,记为,于是按定义9.1.2",存在的一个收敛子列8第九章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理,使得.▋三柯西收敛准则在定理2.3.3中,我们用单调有界原
7、理证明了柯西收敛准则的充分性.下面,我们用致密性定理再次给出柯西收敛准则的充分性.证设数列满足柯西条件,先证明是有界的.为此,取,则存在正整数,当及时有.由此得令,则对一切正整数,均有.于是,由致密性定理,有界数列必有收敛子列,设.对任给的,存在,当时,同时有(由柯西条件),(由),因而当取时,得到这就证明了.▋下面,我们用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设为非空有上界的数集.由实数的阿基米德性,对任何正数,存在正整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.分别取,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界而不是的
8、上界,故存在,使得.(9-1-1)又对正整数,是的上界,故有,结合(9-1-1)得(9-1-2)8第九章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理同理有.从而得.于是,对任给的,存在,当时,有.由柯西收敛准则,数列收敛.记.(9-1-3)现在证明是的上确界.首先,对任何的和正整数有,由(9-1-3)式得,即是的上界.
