关于实数完备性基本定理的循环证明

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1、密级公开本科生毕业（学位）论文有关实数完备性基本定理的循环证明指导教师姓名：职称：副教授单位：数学系专业名称：数学与应用数学论文提交日期：2010年月日论文答辩日期：2010年月日学位授予单位：黔南民族师范学院答辩委员会主席:论文评阅人:2010年月日24有关实数完备性基本定理的循环证明蒋长征(2006051135)(黔南民族师范学院数学系贵州.都匀558000)摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六个循环从不同的角度证明了它们的等价性。关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理

2、；收敛准则TheCirculatingTestificationontheBasicAxiomsofRealNumberCompletenessJiangChang-zheng(2006051135)(DepartmentofMath,QiannanNormalCollegeforNationalities,Duyun,Guizhou,55800)Abstract:Thispaperelaboratessixfundamentaltheoremsonasetofrealnumbersanditsrelatedcontent.Basedontheresultwhichusede

3、cimalnumberdefinitionstoprovesectorprinciplethispaperprovetheirequivalentfromdifferentangle.Keywords:RealNumberCollection;Completeness;TruePrinciple;Hasthetheoremmonotonously;Nestedintervaltheorem;Finitecoveringtheorem;Limitingpointtheorem;CauchyRestrainingcriterion1实数完备性基本定理及其有关内容1.1有关概念定义

4、我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域）24，也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。定义设为非负实数，称有理数为实数的位不

5、足近似，而有理数称为实数的位过剩近似，。定义设为中的一个数集。若存在一个数，使得对一切，都有，则称为有上（下）界的数集，数称为的一个上界（下界）。定义设为中的一个数集。若数满足：(i)对一切，有，即是的上界；(ii)对任意数，存在，使得，即又是的最小上界，则称为数集的上确界，记作：定义设为中的一个数集。若数满足：(i)对一切，有，即是的下界；(ii)对任意数，存在，使得，即又是的最大下界，则称为数集的下确界，记作：定义设闭区间列具有如下性质：(i)，；(ii)则称为闭区间套，或简称区间套。24定义设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于），若的任何邻域内都含有中无穷

6、多个点，则称为点集的一个聚点。定义对于点集，点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为点集的一个聚点。定义若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为点集的一个聚点。注：这三个定义是等价的。定义设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）。若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖。若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限（有限）开覆盖。定义一个数列被称为列，如果对任给的，存在正整数，使得当时有。1.2实数完备性六个基本定理定理（确界原理）设为非空数集，若有上（下）界，则必有上（下）确界。定理（单调有界定理）在实数系，有界的单

7、调数列必有极限。定理（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点使得属于即。推论若（）是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得对一切时有。定理（有限覆盖定理）设为闭区间的一个开覆盖，则从中可选取有限个开区间来覆盖。定理（聚点定理）实数系中任一有界无限点集至少有一个聚点。推论有界数列必有收敛子列。定理（收敛准则）数列收敛的充要条件是：数列是列。242基本定理的循环证明以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五