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1、第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理首页ק2闭区间上连续函数性质的证明首页ק1关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点,构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个，一、区间套定理与柯西收敛准则（i）(ii)或简称区间套．这里的性质（i）表明，即各闭区间的端点满足如下不等式(1)定理7.1（区间套定理）使得即(2)设闭区间列具有如下性质则称为闭区间套，定义1首页×且有分析即要证明闭区间列有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，
2、式和单调有界定理可以知道数列由（1）和都存在极限，只要证明这两个数列极限相等且属于所有的我们则找到一个公共点;然后证明唯一性.证由（１）式，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限,（3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有（4）且（5）联合（3）、（5）即得（2）式.最后证明满足（2）的是唯一的．设数也满足首页×区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立．由区间套的条件（ii）得故有注1对于开区间列，有可能不成立,如,虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但不存在属于所有开区间的公共点．则由（２）式有首页×前者是区间
3、套定理本身条件的要求保证诸区间后者则把证明整个区间上所具有某性质的问题归结为点邻域的性质，应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套.注2一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，即闭区间列.满足（i）(ii)另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中，存在唯一公共点,实现完满整体向局部的转化.由（4）容易推的如下很有用的区间套性质.首页×使得在每个外只有数列中有限项.要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限.对任给的,存在,使得对,的，存在,使得当时有作为区间套定理的
4、应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）.即数列收敛的充要条件是：有.分析由数列极限定义易证得必要性；我们将对柯西列构造区间套推论若是区间套所确定的点则对任给首页×在区间内含有中几乎所有的项，存在，使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项对任给的,存在,当时有证[必要性]设由数列极限定义,因而.[充分性]按假设,对任给的,(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所项”).据此，令则存在，记这个区间为首页×则存在在区间内含有中几乎所有的项.再令记它也含有中几乎所有的项，且满足继续依次令照
5、以上方法得一闭区间列其中每个区间都含中几乎所有的项，且满足首页×本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限.即是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数现在证明数就是数列的极限.事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在使得当n>N时有因此在内含有中除有限项外的所有项.这就证得.注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法.注首页×若的临域内都含有中无穷多个点则称为集的一个聚点.点集只有一个聚点存在在中至多包含中有限多个点.又若为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端点a、b都是S的聚点；任何有限数集
6、也没有聚点.(它可以属于也可以不属于)定义2设为数轴上的点集为定点点集有两个聚点和而正整数集没有聚点，注1点集的聚点可以属于，也可以不属于；注2设是数集，不是的聚点首页×二、聚点定理与有限覆盖定理则其极限称为S的一个聚点.若点的任何邻域内都含有中异于的点，聚点概念的另两个等价定义如下定义对于点集，即，则称为S的一个聚点.定义若存在各项互异的收敛数列，关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下.1）定义2定义是显然的;2）定义定义2也不难得到;3）定义定义.首页×而取则是为了保证点列的各相互异性.令,,则存在且显然…….则对任给的,存在，证设为(按定义)的聚
7、点,令则存在令则存在且无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列.且由,易见.注本证明中取,为了保证数列收敛到.因此可以取其他的小量;注意这种技巧！首页×故存在使得,其中必有一子区间内包含中无限多个点，因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为.把区间二等分，应用区间套定理来证聚点定理．定理７.２(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.分析为有界点集，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点.证为有界点集,记现将等分为两个子区间.且首页×则其中至少有一个子区间含有无穷多个点，
8、再将等分为两个子区间，首页×则取出这样的一个子区间，记为.将此等分
