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时间：2020-06-15
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1、关于实数完备性的6个基本定理1.确界原理；2.单调有界定理；3.区间套定理；4.有限覆盖定理;5.聚点定理;6.柯西收敛准则；在实数系中这六个命题是相互等价的。在有理数系中这六个命题不成立。1.确界原理在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。2.单调有界定理；在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。3.区间套定理若{[]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点所以区间套定理在有理数系不成立。反例：4.有限覆盖定理在实数系中，闭区间[a,b]的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区
2、间覆盖[a,b]。反例：5.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。5.1致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。6.柯西收敛准则反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。实数完备性基本定理的等价性
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