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《关于实数完备性的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章实数的完备性§1关于实数完备性的基本定理1.验证数集有且只有两个聚点和.分析:根据聚点定义,分别找各项互异的收敛数列,,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对,关键在找存在,使U()内含有中有限多个点.解：记则,,且.由定义知，为的两个聚点.对，则取，落在U()内部至多只有有限点,则不是其聚点.2．证明任何有限数集都没有聚点.分析：由聚点定义2即可证明.证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。3．设是一个严格开区间套，即满足且.证明：存在唯一的一点，使
2、。分析：构造闭区间套，应用区间套定理得证。证明：i)设，则（）且.由区间套定理知，存在唯一的，使得.ii)若同时存在且(n=1,2……)，则，而，矛盾。故必有.由i)、ii)结论得证.4.试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。分析：有理数集有上确界,而是无理数,也是其聚点,极限.还可用的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值数列与过剩近似值数列与来解决.解：取的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值数列与过剩近似值数列与，即则均为有理数列；而i)由确界原理知，有界数列必有确界，且在实数范围内，。故在
3、有理数范围内有上界但无上确界，有下界但无下确界。ii)由单调有界定理知，单调增加有上界，单调减少有下界，故均存在。在实数范围内。但由极限的唯一性知，在有理数范围内均不存在。iii)由聚点定理知，有界无穷数列必有聚点，在实数范围内均有唯一聚点。故在有理数范围内，有界无穷数列均无聚点。iv)由于在实数范围内，故对于，当时，，而在有理数范围内，依然满足柯西准则条件，但无极限。5．设,问（1）H能否覆盖？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖(i)(ii)?分析:根据聚点定义,若能覆盖，则关键在于找出针对每个点相对应的开区间；若不能，则关键在找出点，使得它不含于
4、任何一个给定的开区间.解：（1）对于，由阿基米德性质知,只须取，使得,则,由的任意性知,能覆盖(0,1).(2)i)若在中存在的一个有限开覆盖，则在的有限个开区间中可找到最靠近0点的开区间。记为，则取，由于，故这一点不属于中任一开区间，与为的有限开覆盖矛盾。故不能对有限覆盖。ii)取（）,则覆盖了.故能对有限覆盖.6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身。分析：根据聚点定义2，首先对，，中有无穷多个点属于。再对，即或，关键在找到一个确定的，使中不含中无穷多个点。证明：i)对于，当时，对于的任意邻域，限制:，则中有无穷个点.当时，对于的任意邻域，限制:，则
5、中有无穷个点.当时，对于的任意邻域，限制:，则中有无穷个点.ii)若是的聚点，且，当，令，则u是空集.当，令，则u是空集.综合上述两种情形,则结论成立.7.设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界。分析：不妨设为递增数列（递减数列同理可证）.设聚点，设为任一实数且，关键在找,使中最多含有的有限多个项。用确界与数列极限的定义处理.证明:设递增数列的聚点,设为任一实数且,不妨设,取,由聚点定义,中含有的无限多个项,设,由的递增性,当,故中最多含有的有限多个项：,所以不可能是的聚点,由的任意性,为的唯一聚点。现在证明：=,事实上，（1）为的上
6、界，反之，若存在，则当n>N时，有，取则在内最多含有的有限多个项，n=1,2,……N-1,与聚点相矛盾。（2）因为对正整数，，从而结合（1）便知.对递减数列类似可证.8．试用有限覆盖定理证明聚点定理。分析：设E为有界无穷点集，因此存在,使得。由上述习题6知，的聚点均含于，故E若有聚点，必含于。再利用反证法，对于，必有相应的，使得内至多只有点（若，则中不含E中之点）。所有这些邻域的全体形成的一个无限开覆盖，根据有限覆盖定理，当中有有限个邻域覆盖，也覆盖了E，由构造含意知，这有限个邻域中至多有有限个点属于E，这与E为无穷点集相矛盾。因此，在内一定有E的聚点
7、.证明：设E为有界无穷点集，因此存在,使得。由上述习题6知，的聚点均含于，故E若有聚点，必含于。反证法：若E无聚点，即中任何一点都不是E的聚点，则对于，必有相应的，使得内至多只有点（若，则中不含E中之点）。所有这些邻域的全体形成的一个无限开覆盖：。由有限覆盖定理知，中存在有限个开区间能覆盖。记。为的一个有限开覆盖，则也覆盖E，由构造含意知，中个邻域内至多有有限个点属于E，这与E为无穷点集相矛盾。因此，在内一定有E的聚点。由此聚点定理得证。9．试用聚点定理证明柯西收敛准则。分析：必要性可根据极限的定义和不等式的性质证得；充分性：设数列，先说明若对于当时，
8、有则此数列为有界数列；再由聚点定理推论知，有界数列必含有收敛子列，故必有收敛子列。记。然后由柯
