论数学悖论对数学发展的影响

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1、成绩评分教师论文题目学院名称专业班级学生姓名学号授课教师论数学悖论对数学发展的影响数学与统计学院2014级数学与应用数学1班刘素琴20140655011140撰写时间：2016年6月12口论数学悖论对数学发展的影响刘素琴（长江师范学院数学与统计学院，重庆涪陵408000）摘要：数学悖论，曾经引起了数学界的无数争端，它使得数学前进的脚步一次次陷入迷途。数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。因而研宂悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁

2、荣和发展，具有重要的历史意义。关键i司：悖论；数学危机；矛盾；数学发展悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的。又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真。”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面。数学悖论反论，包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展力对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内

3、容，甚至引起革命性的变革。1第一次数学危机的产生及其影响产生：毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。由此看来，希帕索斯悖论是巾于主观认识上的错误而造成的。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当

4、时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了第一次数学危机。公元前6世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐in。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”，后来这个学派发现了一个毕达哥拉定理（勾股定理）：即任何直角三角形的两直角边a,b和斜边c都满足〃2他们认为这是一件了

5、不起的事，并宰了一百头牛来庆祝，然而，具有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的这一定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了这样一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一k度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上笫一个无理数的诞生。小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当吋所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结

6、论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术己经商度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了！这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同吋也冲击了当吋希腊人的普遍见解，因此在当吋它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”。影响：希帕索斯的发现，促使人们进一步去认识和理解无理数。但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无

7、理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘作法，对数学的发展也产生了不利的影响。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类一一实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，笫一次数学危机表明