数学教育学 第10章 数学知识的分类教学设计

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1、第10章数学知识的分类教学设计1、信息加工心理学家安德森从知识的获得心理加工的角度，将个体的知识分为两类：陈述性知识；程序性知识。2、数学知识是客观世界的数量关系与空间形式方面的特征在人脑中的能动反映。一般包括以下几个方面：（1）表达数学事实的陈述性知识（2）表达操作和运演的程序性知识（3）两类知识中蕴含的数学思想及揭示知识内在联系的逻辑方法（4）形成基本技能、形成数学能力的数学题。3、数学概念反映了事物在数量关系、结构关系、空间形式方面的本质属性。概念的内涵：在逻辑学上，把概念所反映的事物本质属性的总和。从质的方面来刻画概念。概念的

2、外延：凡是适合某概念的对象的全体。从量的方面来刻画概念。4、概念间的逻辑关系：①属种关系；②交叉关系；③不相容的关系。不相容的关系有两种：反对关系和矛盾关系。5、概念的名称（符号）和定义概念是名称的思想内容，名称（符号）是概念的表述形式。在数学中，可以用不同的名称、符号标记同一概念；同时表示概念的名称、符号应具有无歧义性。定义是揭示概念内涵（或外延）的逻辑方法。6、在数学中，常见的定义形式有下列几种：（1）属加种差定义（2）关系定义（3）外延定义（4）发生定义（5）递归定义（6）约定式定义（7）形式定义（8）公理化定义7、给概念下定义

3、要注意几点：（1）定义必须相称（2）定义不能循环（3）定义的方式可以不唯一（4）定义是被定义概念内涵或外延的一种规定，所以概念的定义只能解释不能证明。8、数学概念学习包括概念的获得、概念的应用、建立概念体系三个阶段。9、概念的获得。概念获得就是理解、掌握一类事物的共同的本质的属性。（1）概念的形成概念的形成，就是从大量的实例出发，通过个体的感知、辨别、比较、归类，以归纳的方式概括出一类事物的共同属性，从而获得某个概念的方式。在概念的形成过程中，有一些以下的关键要素：1、观察一定数量的、形式变异的事实材料；2、分化每一个事实材料的属性；

4、3、概括出这些事实材料的共性；4、辨析变式材料，确认关键属性。所谓同化，就是新知识与学习者原有认知结构中的某概念建立有机的、非人为的实质性联系，通过新旧知识的作用，新知识被纳入原有的知识结构中，原有的认知结构得到充实。在教学条件下，学生获得数学概念的另一基本方式，就是在学生原有知识经验的基础上，以定义的方式直接揭示概念的关键特征，由学生通过与已有的认知结构中相关概念建立联系来理解、掌握新概念，就是概念的同化。在概念同化过程中，有以下一些关键因素：1、学习新概念的已有知识经验；2、运用定义给出概念的本质属性、名称、符号；3、运用定义辨认

5、概念的肯定例证与否定例证；4、把新概念纳入到相应的概念体系中，与已知概念建立有机的联系，形成一个概念体系。（2）概念的应用概念应用的数学活动的两类型：（1）辨别与判断（2）概念的泛化。（3）建立概念体系中学教材中概念间的联系有以下几种情形：（1）具有属种关系的概念群（2）具有并列关系的概念群。10、数学概念的教学（1）概念的引入概念引入的途径：1、列举生活实例，提供现实原型2、在已知概念的基础上引入3、运用数学问题引入。(2)明确内涵，廓清外延数学教学常常通过下列环节达到对概念内涵的把握与外延的界定：1、给出、剖析概念的定义2、用变式

6、材料3、辨析否定例证。(3)概念的运用学生理解概念的定义的逻辑意义时常经历两个过程：一是知觉表达定义的语句的语法结构；二是把词义与知识结构中已知概念建立联系，把个别、孤立的词义综合起来获得整体定义的意义。所谓变式材料，是指概念的肯定例证在无关特征方面的变化。11、数学命题：数学课程中表示概念具有某种性质或概念之间具有某种关系的判断。12数学命题的有关知识（1）判断与命题一般地，我们把反映事物是否具有某种属性或事物之间是否具有某种关系的思维形式叫做判断。用来表达判断的语句叫做命题。在数学中，用语言、符号表达的并且能够辨别真假的语句叫做数

7、学命题。（2）数学公式数学公式：是一类用纯数学符号表达概念之间数量关系且在一定范围内恒成立的数学命题。数学公式具有以下特征：（1）数学公式的网络化；（2）数学公式的形式化。每组中的公式之间的关系：1派生关系、2相关并列关系、3总括关系。数学公式形式化特征：1公式中的元素符号起着“位置占有者”的作用;2数学公式的正逆向推演，适用于不同的技能操作;3同一公式通过恒等变形或变换，可以得到多种表现形式。(3)数学定理在研究各种不同数学对象时，往往要对它们之间的关系作出一些判断，经过证明而肯定其正确性的判断，称为定理。定理群的展现形式：1、性质

8、定理与判定定理;2、原命题与偏命逆题.充分条件—判定定理；必要条件—性质定理。命题有几种形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题和偏逆命题。13、命题学习得认知分析命题学习的认知过程主要经历三个阶段：1、命题的获得；2、命