高等代数与解析几何 1.3

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1、第一章多项式§3带余除法一、带余除法1.竖式除法例设f(x)=3x3+4x2–5x+6,g(x)=x2–3x+1.求f(x)除以g(x)的商和余式2.带余除法带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)0，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)(1)成立，其中deg(r(x))

2、　的情形，假设对次数小于n的，结论已成立．先证存在性．对作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．设　　的首项为的首项为则与首项相同，因而，多项式的次数小于n或f1为0．若令即可．由归纳假设，存在使得现在来看次数为n的情形．若其中或者于是即有使成立．的存在性得证．由归纳法原理，对再证唯一性．若同时有和则即其中其中矛盾．所以从而唯一性得证．但带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)通常称为g(x)除f(x)的余式.二综合除法的商式和余式可按下列计算格式求得：这里，若则除去除①求一次多项

3、式的商式及余式．②把表成的方幂和，即表成的形式．说明：综合除法一般用于例1．求　　除　　的商式和余式例２.把表成的方幂和．性质：多项式除以的余式为三、整除1.定义定义数域P上的多项式g(x)称为整除f(x)，如果有数域P上的多项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立.我们用“g(x)

4、f(x)”表示g(x)整除f(x)，用“g(x)

5、f(x)”表示g(x)不能整除f(x).说明:①时，称为的因式，为的倍式．②当时，如果则除所得的商可表成任一多项式f(x)都整除零多项式0，即f(x)

6、0；零次多项

7、式能整除任一个多项式，即c

8、f(x);③由定义，有f(x)

9、f(x)；零多项式只能整除零多项式。区别：零多项式整除零多项式，有意义．除数为零，无意义．定理12．整除的判定整除当且仅当3．整除的性质时，　与　　有相同的因式和倍式．1)若　　　，则2)若则证：若则使得使得若则皆为非空常数．3)若（整除关系的传递性）成立．故有4)若则对有注：反之不然．如但5)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．例3．求实数　　　满足什么条件时多项式整除多项式