材料力学第8章-能量法4

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1、第八章能量法一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理)三、卡氏定理四、互等定理五、虚功原理单位力法图乘法六、超静定问题力法七、冲击应力1能量法/互等定理上节回顾功的互等定理结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。2由功的互等定理位移互等定理注意：1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。2.力和位移应理解为广义力和广义位移。当F1=F2=F时（力与位移成线性关系的结构）能量法/互等定理上节回顾3能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回

2、顾1、可能内力,可能位移,虚位移2、虚功原理在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。外力虚功内力虚功4能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回顾3、单位力法用途：计算任意点处位移（广义）方法：利用虚功原理第一步构造一单位力状态：（1）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件和约束）；（2）在所求位移处施加一个对应单位力；（3）计算结构只在此单位力作用下各截面的内力5能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回顾第二步取原结构的实际位移状态作为单位力状态

3、的虚位移。○○○○○○原问题δ实际位移状态作为虚位移Kδα单位力状态1Kα6能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回顾d(l),d,d——原状态，真实载荷引起适用：线性、非线性结构。○○○δ实际位移状态单位力状态1Kα据虚功原理——单位力引起的内力7能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回顾4、Mohr积分85、图乘法莫尔积分转化为外载荷引起的弯矩图的面积和其形心对应的单位载荷弯矩的乘积。xcxdxoxCxax+b利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法,称为图乘法或图形互乘法。能量法/虚功原理单位力法图

4、乘法上节回顾9图乘法注意事项:1、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和莫尔积分类似。2、图乘法不仅仅适用于弯矩的Mohr积分,也同样适用于轴力和扭矩的Mohr积分计算。3、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法得到的代数值取负号,反之为正。4、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。能量法/虚功原理单位力法图乘法上节回顾10ABCqABC1C1C2++例：如图简支梁受均布载荷作用，求跨中C点的挠度。解：先作出外

5、力弯矩图。要求跨中C点挠度，就在C点施加横向的单位集中力。然后作出单位集中力的弯矩图。能量法/虚功原理单位力法图乘法11C1C2++由于单位力弯矩图是折线，所以应该分段使用图形互乘法。能量法/虚功原理单位力法图乘法12ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3例：求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。解：使用图乘法：作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。由于要计算自由端的挠度，应用单位力法，在梁的自由端施加横向的单位集中力。作出梁施加单位力时的弯矩图。能量法/虚功原理单位力法图乘法13

6、ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3由于是变截面梁，AC段和BC段弯曲刚度不一样，要分段应用图乘法。又因为AC的外力弯矩图为梯形，可以把它分解为三角形和矩形的叠加，分别应用图形互乘法，所以弯矩图分为三部分：能量法/虚功原理单位力法图乘法14根据图乘法，自由端的挠度为：ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3能量法/虚功原理单位力法图乘法15ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2例如图所示平面直角刚架，其弯曲刚度EI为常数。试求截

7、面C的挠度和转角。解：应用图形互乘法，首先作出外力弯矩图。为求C截面转角，在C截面施加单位力偶。作出单位力偶的弯矩图。为求C截面挠度，在C截面施加单位力。作出单位力偶的弯矩图。能量法/虚功原理单位力法图乘法16ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2形心对应的单位力弯矩分别如图所示。则有：挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。能量法/虚功原理单位力法图乘法17第八章能量法六、超静定问题力法18能量法/超静定问题力法1、超静定结构静不定次数静定基。一个结构,如果它的支座反力和各截面的内

8、力都可以用静力平衡条件唯一确定,就称为静定结构。一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定,就称为超静定结构(内力超静定,外力超静定)。超静定次数——超静定结构中多余约束的个数。静定基——去除多余约束后得到的静定结构。192、超静定结构变形的一般求解方法能量法/超静定问题力法(2)建立静定基的静力平衡方程；(3)由解除约束处变形协调条件建立几何方程；(3)应用变形与内力之间的物理关系代入几何方程，得到补充方程；(4)补充方程与