椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广

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1、椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论尤溪文公高级中学郑明淮圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以例1、已知椭圆，的一条弦

2、所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A、B、C、D、分析：本题中弦的斜率且，根据定理有，即，解得，所以B答案正确.例2、过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为，根据椭圆中点弦的斜率公式知，显然，所以，故所求的直线方程为，即.例3、过椭圆上的一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程.解：设的中点为，则，，由椭圆中点弦的的斜率公式得，即所求的轨迹方程为例4、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴交于，求证：.证明：设的中点为，由题设可知与轴不垂直，，由椭圆的中点弦斜率

3、公式得:，所以直线的方程为：，令解得，，，即：例5、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使交双曲线于、两点且点是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线的斜率为，则，由双曲线中点弦的斜率公式知：，此时的方程为：，即，将它代入双曲线方程并化简得：，而该方程没有实数根.故这样的直线不存在.定理1推论：若、是椭圆上关于中心对称的两点，是椭圆上任一点，当、的斜率和都存在时，有.证明：如图：连结，取中点，连结，则，所以有，由椭圆中点弦斜率公式得：.所以.类似地可以证明定理2推论：若、是双曲线上关于中心

4、对称的两点，是双曲线上的任一点，当、的斜率和都存在时，有.