椭圆中点弦的斜率公式及应用.doc

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1、椭圆中点弦的斜率公式及应用山东高密市第三中学 任志勇 单秀丽二次曲线的中点弦有许多有趣的性质,下面介绍椭圆中点弦的斜率公式,利用它可起到事半功倍的效果.定理 设有二次曲线的方程为A、B两点在曲线上,M是弦AB的中点,O为坐标原点,则.证明 设A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点M的坐标为().∵A、B两点在曲线上,∴两式相减得:整理得,又,.证毕.注 特别地,当>0时,二次曲线为圆,显然OM⊥AB,有.例1 过椭圆内一点D(1,0)引动弦AB,求弦AB的中点M的轨迹方程.解 设动点M的坐标为(x,y),则由定理得整理得这就是点

2、M的轨迹方程.例2 设椭圆与直线相交于A、B两点,且,又AB的中点M与原点O的连线的斜率为,求a、b的值.解 由定理得(-1)·=-    (1)将代入椭圆方程整理得:设A、B两点横坐标分别为x1、x2,则∴,∴即         (2)由(1)、(2)解得

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