初等几何研究

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1、1.（证明线段相等）例1:在的两边AB、AC上向外做正方形ABEF和ACGH,则BC边上的岛线AD平分FH。证明：过点F作FQ丄PQ，过点H作HP丄DP4:AFQA和AADB中ZFQA=ZADB=90°PH=ADAH=AC•••FQ=HP祚和中ZQFM=ZPHM

2、通过C引弦PQ，并在此弦两端作圆的切线PX和QY。它们交直线AB于X、Y。证PX=QY、AX=BY。p3：AB足圆的直径，从圆上一点C作CD丄AS于D。且在A、C两点的切线相交于E,证明：BE平分CD。证明:过点B作BF丄AB交EC于F...EA//CD//BFCMBFCFBDDMDM*1E_EF-EF-AB~7^E"IE•••CM=DM即BE平分CDo4：设AD、BE、CF是AABC的高线，则A£>£F称为MBC垂足三角形。证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。A证叨：•••FCDM共阏.•.ZFCM=ZFDM•••DBE

3、MA:圆ZEBM=ZEDMZFCM+ZBAC=ZEBM+ZBAC=90°•••ZFCM=ZEBM•••ZFDM=ZEDM即AD平分ZFDE同理可得BF平分ZDFE,CE平分ZFED即这三条髙线平分的内角或外角。5：二闕外切于P，一圆在其上一点C的切线交另一閼于A、B。求证：PC是的外角〒分线。P6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线屮最长的等干其余两线之和。cJ证叨：延长BP至C'.使PCZ=PC，•••ZCPC'=ZBAC=60°则APCC'为等边三角形/.PC=CC'ZACB+ZPCB=ZPCC'+ZPCBZACP=Z

4、BCC'在Ascr和MCP中BC=ACAC.求证：BM>CN.证明：vAB>AC•••ZACB>ZAB

5、C在和MCA中AL=AL,BL=BL•••AALB>ZALC在AB£G和ACLG中GL=GL，BL=BLBG〉CG22即一腹〉一C7V33所以BM〉CN.9：从三角形顶点A向另两角的平分线作垂线A£、AF，E、F为垂足。求证EF//BC.证明：•.•AF1FH，AE1HE/.AFHE四点共圆，...ZFEH=ZFAH=ZCAF--ZBAC=90--ZACB--ZCAB=-ZABC=ZEBC2222:.EFUBC10：三角形中大边的高较小。已知AB〉AC，，CF为高。求证B£〉CF。证明:-~ABFC=-ACBE22vAB>AC

6、/.BE>CF11：过圆外一点尸做切线凡4,曲的中点B作割线BCD,连PC,/V）交圆于£，厂求证：EF//PA....BA2=BCBDPB2=BA2=BC•BDPBBD•—*BC"PSPBCW^DBP:.ZAPE=ZBDP•••ZPEF=ZBDP•••ZAPE=ZPEF:.FEUPA12：三角形外接阀周上的任意一点到三边（所在直线上）的射影共线。已知：AABC内接于圆O，尸为弧上任意•一点，过H乍丄SCT丄/1C，丄AS，X，y，z为猶足。求证：％,y,z共线。P证明：YPXBZ四点共圆，/.ZPXZ=ZPBZ•••

7、pxyc四点共圆，zpxy=1soj-zpck•••ZPBZ=ZPCYZPXK+ZPCY=ZPXY+ZPBZ=APXY+APXZ=180°/.X，Y,Z三点共线。13定理：设MBC的三边（所在直线）BC，G4，AS分别被一直线所截，交点为JV,Z。则有BXCYXC^4AZZB证明：过点C作CD//XZBXBZCYDZAZAZ'XC-ZD9K4-Z4?ZB~ZBBXCYAZBZDZAZtXCYAZBZDZAZB14逆定理（梅氏定理）：设定三边（所在直线）BC，CA，Afi上各取一点X,y,Z,满足尝y，z共线。证明：设XY交AB

8、与Z'则有BXCYAZ'ICCi并且H义XCYAZB=-KZ：_KLZ'B~ZB所以X，Y，Z三点共线15、Ptolemy：圆内接叫边形两对角线乘积等于两组对边乘积之和。已知45CD内接于圆，求证=ADBC+Afi.CD证叨：作=交BDA/E乂•/ZABE=ZACD.•.A