初等几何研究平时作业

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1、初等几何研究平时作业华师大网络教育学院1.试叙述非欧几何的Poincare上半平面模型，并说明平行公理不成立.Poincare上半平而模型介绍定义：关系：直线：取上半平面中以O为圆心的上半开圆周/或者上半平面中与x轴垂直的开直线/作为非欧几何中的“直线”。点：取上半平面内部的点（不包括x轴上的点）作为非欧几何中的“点”“点在亘线上”和“顾序关系P0S”都能如图中所示去理解线段的合同：如果通过一系列的“对称”的合成能够将一个线段映到另一个线段，那么我们就认为这两个线段是合同的。同样，通过一系列的“对称”的合成能够将一个角映到另一个角，那么我们就认

2、为这两个角是合同的证明：现在我们可以逐一地去验证Hilbert的公理系统中的公理I〜IV和?是成立的，这样就得到了非欧几何的Poincare上半平面模型s例：证明公理V是成立的。证明：如图，过直线/外一点A,存在着两条过A的直线/pi它们与直线/都不相交。2.试叙述非欧几何的Klein模型.并说明平行公理不成立.见第一章第三节Klein模型的介绍。我们先来看基木对象，点：取单位岡盘内部D中的点作为非欧儿何中的“点”，直线；取.2?中的开弦作为非欧儿何中的“且线”。基木关系：点在直线上；顺序关系；合同关系。其中点在直线上”是容易理解的，如卜阁9中点

3、i位于且线^上等。顺序关系可如同在欧氏几何屮那样去理解。合同关系”就要详细地予以说明。先來看两个线段的合同。设有两个线段（如阁9），线段在直线f上，线段在直线P上。如果存在一个0屮的射影£1同构r，使得在r变换下，线段变到线段33"，那么我们就认为线段和线段合同的，记为线段不过这里不解释射影自同构的含义。两个角的合同可理解为存在一个0中的射影自同构f使得艽中一个角的顶点映到w—个角的顶点，同事将艽屮一个允的两条射线分别映到另一个角的两条射线。I冬19在对基木对象、基木关系作了上述的理解P，我们可以逐一地验证公理系统I,II,III,IV和V是成立

4、的，这样我们就得到了非欧儿何的Klein模型。譬如说，此模型是满足公理V的。如阁10所示，过直线f外一点存在着两条过点i的且线它们与H线Z都不相交。1.试用实数模型证明连续性公理.证题设公理系统4為…4-•••4：是相容的，所以否则在所给的模型中岣与同时成立，这是不可能的2.试用实数模型证明平行公理.已知实数比(a'b:c)，其中乂+6、0,实数偶(xo,Jo)满足关系式ar。+勿，。+c*0,则至多有一个实数比(6f:6':c')，其中a'1+b,20,使得a%++c—0,且方程组6tr0+by^+c=0]^'x0+6%+c'=05.在□AB

5、C中，已知ZA=90°,A£>丄BC’DEiAB,丄AC，求证：AD3=BCUBElCF.证明：同理可得CD^CPCA丄BC.-Aiy4=BE•BA-CF'CA•AD^BD.CO•/A0-BC=A6-AC.AD十BCTCO,.-ACr4=BE•CF^AD*BC?AD丄BCDEiAB.-AD^BC'BE'CF/.BCP=BES6AAU6.已知AAl是DABC屮SC边上屮线，任作一直线交于P，2,；V，求证：——，AP6证明要点：如图，过日作日DhPQ.aCfECEiPCX分到交直浅AM贝!1曰zBDM=zCEhUBMD=zCME.BM=CM得-BD

6、Ms-CEM(AAS)所以MD=ME因为PQliBDPQMCE所以AB/AP=AD/AN.AC7AQ=AE/AN所WAB'AP十AC/AQ=AE7AN*AD/AN.所以AB/AP十AC/AQ=(AE*AD)/AN因为AE=AM十ME.AD=AW•MD所以AE十AD=2AM口所以A日/AP十AC/AQ=2AI.VANn□7.已知半径为/?，r(/?〉r)的W岡内切于点A，直彳么4£的乘线分别交W岡于B，C，且B，C在同侧，求证口ABCW外接阅半径为定值.不存在解(Xj).证明：垂直于连心线的直线交连心线于DBD2=^-(AD-Rj^CD^r'^AD

7、-r)2BC=BD-CD=、’[RMAD-R)2]•'’『-(AD-r)2]=<(2AD*R-AD2)-、’(2AD*r-AD2)sinzABC二AD/AB二AB/2R=<(AD/2R)coszABC=<[(2R-AD)/2R]sinzACB=AD/AC=AC/2r=<(AD/2r)coszACB=-<[(2r-AD)/2r]sinzBAOsin(zABC+zACB)=sinzABC*coszACB+sinzACBcoszABC=-<(AD/2R)*<[(2r-AD)/2r]+<(AD/2r)*<[(2R-AD)/2R]=1/(4Rr)*{[

8、(2R-AD)*AD]-<[(2r-AD)*AD]}MBC夕嘴直径=BC/sinzBAC=[<(2AD*R-AD2)•<(2AD*r-A