初等几何研究复习题

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1、习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD+BC,E是DC中点求证：∠DAB与∠ABC的平分线必经过E点。证明（同一法）：设∠DAB与∠ABC的角平分线交于E′点，只需证E′点与E点重合。∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°∴∠AE′B=90°作Rt△ABE′的斜边AB上的中线FE′，则FE′=AB=AF=BF∴∠2=∠AE′F,∠3=∠BE′F∴∠1=∠2=∠AE′F,∴E′F∥AD∥BC

2、连结EF,则EF为梯形ABCD的中位线,EF∥AD∥BC∴E′F与EF共线∵FE′=AB=(AD+BC),FE=(AD+BC)∴E′F=EF∴E′与E重合，证毕.习题2.A是等腰三角形ABC的顶点，将其腰AB延长至D，使BD=AB。知CD=10厘米，求AB边上中线的长。解：过B作BF∥AC交CD于F，则BF是△DAC的中位线。∴BFAC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC，AB=AC∴∠FBC=∠ABC，BF=AB=BE∴△EBC≌△FBC（SAS）∴CE=CF=CD=×10=5cm即△ABC中边上的中线CE的长为5

3、厘米。习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC。D为BC延长线上一点，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC延长线于F。求证：DE－DF为常量。证明：作△ABC的边AB上的高CH，再作CG⊥DE于G，则四边形CHEG为矩形。∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2∴∠3=∠4又CD为公共边。∴Rt△DGC≌Rt△DFC∴DF=DG。∴DE－DF=DE－DG=EG=CH。（常量）证毕习题4.在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D。M是B

4、C的中点。求证：DM=AB。证明：（Ⅰ）当∠B为锐角时，作ME∥AC交AB于E，连结DE。则E为AB的中点∴∠DME=∠C，∠BEM=∠BAC在Rt△ABD中，有DE=AB=BE=AE∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C∠DME=∠C∠DEM=2∠C－∠C=∠C∠DEM=∠DMEDE=DMDE=AB（Ⅱ）当∠B为钝角时，作ME∥AC交AB于E。连结DE，则E为AB的中点在Rt△ADB中DE=AB=BE=AE，E和M分别是AB和BC的中点∴ME是△ABC的中位线∴∠C=∠BME，∠BAC=∠BEM∵∠BAC=180

5、°-（∠B+∠C）∴∠BEM=180°-（∠B+∠C）又∵BE=DE在△BDE中∠ABD=∠EDB=180°-∠B∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB=2∠B-180°∴∠DEM=∠B-∠C，又∠B=2∠C∴∠DEM=∠BME∴DM=AB（Ⅲ）当∠B为直角时，易证DM=AB（Ⅳ）当∠A为直角时，易证DM=AB习题5.AB是圆的直径，引弦AC使∠BAC=30°，过点C引切线交AB的延长线于D，求证：AC=CD证明：如图，连结CB∵AB是⊙的直径∴∠ACB=90°∵CD为⊙O的切线，∠BAC=30°∴∠BCD=∠BAC=

6、30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120°∴在△BCD中∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=30°∴∠BAC=∠BDC即AC=CD习题6.两圆相交于两点A和B，在每一个圆中各作弦AC和AD，使切于另一圆。求证：∠ABC=∠ABD证明：如图，AC和AD分别是⊙，⊙的切线，交⊙，⊙于C和D∴∠CAB=∠ADB，∠DAB=∠ACB在△ABC和△ABD中∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB）=180°-（∠ADB+∠DAB）=∠ABD即∠ABC=∠ABD习题7.四边形ABCD中，设AD=BC，且M

7、和N是对角线AC和BD的中点。证明：直线AD和BD与MN成等角证明：如图，四边形ABCD中AD=BCM和N点分别为对角线AC和BD的中点,MN交AD、BC分别于G和F.下证：∠AGF=∠BFG连结BM并延长至E,BM=ME。连结AE和CE显然：ABCD为平行四边形。连结DE∴∠BFG=∠AHG∵AD=BC，AD=AE而M和N分别是BD和BE的中点，∴MN∥DE∴AG=AH∴∠AGF=∠AHG=∠BFG习题8.设延长△ABC的边BA至D，使AD=AC，则∠BCD=90°+（∠C-∠B）证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1

8、①AD=AC，∠1=∠D∴∠BAC=∠1+∠D=2∠1∠B+∠BCA+2∠1=180°即：2∠1=180°-∠B-∠BCA②将②代入①得：2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA∴∠BCD=90°+（∠C-∠B）习题9.设O为△ABC内部任一点，则OA+OB＜CA+CB证明：连AO延长交BC于D△ADC中AC