初等几何研究复习题

初等几何研究复习题

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1、习题1.设梯形两底之和等于一腰,则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是DC中点求证:∠DAB与∠ABC的平分线必经过E点。证明(同一法):设∠DAB与∠ABC的角平分线交于E′点,只需证E′点与E点重合。∵AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°∴∠AE′B=90°作Rt△ABE′的斜边AB上的中线FE′,则FE′=AB=AF=BF∴∠2=∠AE′F,∠3=∠BE′F∴∠1=∠2=∠AE′F,∴E′F∥AD∥BC连结EF,则EF为梯形ABCD的中位线,EF∥AD∥

2、BC∴E′F与EF共线∵FE′=AB=(AD+BC),FE=(AD+BC)∴E′F=EF∴E′与E重合,证毕.习题2.A是等腰三角形ABC的顶点,将其腰AB延长至D,使BD=AB。知CD=10厘米,求AB边上中线的长。解:过B作BF∥AC交CD于F,则BF是△DAC的中位线。∴BFAC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC,AB=AC∴∠FBC=∠ABC,BF=AB=BE∴△EBC≌△FBC(SAS)∴CE=CF=CD=×10=5cm即△ABC中边上的中线CE的长为5厘米。习题3.证明:等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。已知:如图,等腰三角形ABC中,A

3、B=AC。D为BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC延长线于F。求证:DE-DF为常量。证明:作△ABC的边AB上的高CH,再作CG⊥DE于G,则四边形CHEG为矩形。∵∠3+∠B=90°,∠4+∠2=90°,∠B=∠ACB=∠2∴∠3=∠4又CD为公共边。∴Rt△DGC≌Rt△DFC∴DF=DG。∴DE-DF=DE-DG=EG=CH。(常量)证毕习题4.在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D。M是BC的中点。求证:DM=AB。证明:(Ⅰ)当∠B为锐角时,作ME∥AC交AB于E,连结DE。则E为AB的中点∴∠DME=∠C,∠BEM=∠BAC在Rt△ABD

4、中,有DE=AB=BE=AE∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C∠DME=∠C∠DEM=2∠C-∠C=∠C∠DEM=∠DMEDE=DMDE=AB(Ⅱ)当∠B为钝角时,作ME∥AC交AB于E。连结DE,则E为AB的中点在Rt△ADB中DE=AB=BE=AE,E和M分别是AB和BC的中点∴ME是△ABC的中位线∴∠C=∠BME,∠BAC=∠BEM∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)∴∠BEM=180°-(∠B+∠C)又∵BE=DE在△BDE中∠ABD=∠EDB=180°-∠B∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB=2∠B-180°∴∠DEM=∠B-∠C,又∠B=2∠

5、C∴∠DEM=∠BME∴DM=AB(Ⅲ)当∠B为直角时,易证DM=AB(Ⅳ)当∠A为直角时,易证DM=AB习题5.AB是圆的直径,引弦AC使∠BAC=30°,过点C引切线交AB的延长线于D,求证:AC=CD证明:如图,连结CB∵AB是⊙的直径∴∠ACB=90°∵CD为⊙O的切线,∠BAC=30°∴∠BCD=∠BAC=30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120°∴在△BCD中∴∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)=30°∴∠BAC=∠BDC即AC=CD习题6.两圆相交于两点A和B,在每一个圆中各作弦AC和AD,使切于另一圆。求证:∠ABC=∠ABD证明

6、:如图,AC和AD分别是⊙,⊙的切线,交⊙,⊙于C和D∴∠CAB=∠ADB,∠DAB=∠ACB在△ABC和△ABD中∠ABC=180°-(∠CAB+∠ACB)=180°-(∠ADB+∠DAB)=∠ABD即∠ABC=∠ABD习题7.四边形ABCD中,设AD=BC,且M和N是对角线AC和BD的中点。证明:直线AD和BD与MN成等角证明:如图,四边形ABCD中AD=BCM和N点分别为对角线AC和BD的中点,MN交AD、BC分别于G和F.下证:∠AGF=∠BFG连结BM并延长至E,BM=ME。连结AE和CE显然:ABCD为平行四边形。连结DE∴∠BFG=∠AHG∵AD=BC,AD

7、=AE而M和N分别是BD和BE的中点,∴MN∥DE∴AG=AH∴∠AGF=∠AHG=∠BFG习题8.设延长△ABC的边BA至D,使AD=AC,则∠BCD=90°+(∠C-∠B)证明:∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1①AD=AC,∠1=∠D∴∠BAC=∠1+∠D=2∠1∠B+∠BCA+2∠1=180°即:2∠1=180°-∠B-∠BCA②将②代入①得:2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA∴∠BCD=90°+(∠C-∠B)习题9.设O为△ABC内部任一点,则OA+OB<CA+CB证明:连AO延长交BC于D△ADC中AC

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