初 三 数 学（第10讲）--与圆有关的位置关系 (二)

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1、初三数学（第10讲）主讲教师：李跃华（苏州立达中学）【教学内容与目的要求】第23章圆§23.2与圆有关的位置关系(二)教学目的：1、了解圆和圆的五种位置关系的定义；并掌握每种位置关系中圆心距d和两圆半径R和r的数量关系,会用d与R、r之间的数量关系，判断两圆的位置关系；　　2、掌握相切两圆和相交两圆的性质．通过综合运用圆与圆的位置关系的有关性质解题，进一步提高对前段所学与圆有关知识的应用能力、加深对圆的有关重要性质的理解。3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力；　　4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美；　　5、渗透数形结合的数学思想，进一步培养学生

2、良好的学习习惯和不断创新的精神．　6、掌握相交两圆的性质定理；并掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；掌握在解题时适当添置辅助线(连心线、公共弦、连结两交点与圆的线段等)的基本技能。　　7、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；【知识重点与学习难点】　重点：1。两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．2。相交两圆的性质及应用．难点1。两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中

3、，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．　2。应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．【方法指导与教材延伸】1、知识结构(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))　　(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))12　　　　　　(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))　　(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个

4、圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))　　(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例． (图(6))2、归纳：　　(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．　　(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一　　(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．　　并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?　　结论：在同一平面内任意两圆只

5、存在以上五种位置关系．3、分析、研究　　1、相切两圆的性质．　　让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：　　如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．　　这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明　　2、两圆位置关系的数量特征．　　设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．　　两圆外切d＝R+r；　　两圆内切d＝R-r(R＞r);　　两圆外离d＞R+r；　　两圆内含d＜R-r(R＞r);　　两圆相交R-r＜d＜R+r．　　说明：注重“数形结合”的思想．（一）图形的对称美12　　　　相切两圆是以连

6、心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?（二）观察、猜想、证明　　1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．　　2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．　　3、证明：　　已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．　　求证：Q1O2是AB的垂直平分线．　　分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B． 　　证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，　　∴O1点在AB的垂直平分线上．　　又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．　　因此O1O2是

7、AB的垂直平分线．　　也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：　　∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．　　∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．　　∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，　　∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．　　定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．　　注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆