第4讲 与圆有关位置关系

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1、第4讲与圆有关的位置关系第一部分考点搜索(一)点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝>点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2.过三点的圆：⑴过同一直线上三点，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【注意：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】（二）直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有种：当直线和圆

2、有两个公共点时，叫做直线和圆，直线叫圆的_________线，当直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆_____________,直线叫做圆的_______________当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆。2.设⊙o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与⊙o相交<＝>dr,直线l与⊙o相切<＝>dr，直线l与⊙o相离<＝>dr3.切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【注意：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆

3、的切线【注意：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】3.切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角。4.三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的。⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分。(三）圆和圆的位置

4、关系：圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1与Qo2外距<＝>Qo1与Qo2外切<＝>两圆相交<＝>两圆内切<＝>两圆内含<＝>【注意：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一公共点包含和8两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆此时d=】第二部分典例精析考点一：切线的性质例题1.如图,BC是半圆O的直径,P是BC延长线上一点,PA切⊙O于点A,∠B=30°.(1)试问AB与AP是否相等?请说明理由.(2)若PA=,求半圆O的直径.解：(1)相等.理由:连接OA,则∠

5、PAO=90°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°,∴∠AOP=60°,∠P=90°-60°=30°,∴∠P=∠B,∴AB=AP,(2)∵tan∠APO=,∴OA=PA，tan∠APO=,∴BC=2OA=2,即半圆O的直径为2.同步拓展1.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC,作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圆于E,交过C点的切线于点D.(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.2.（2012广东佛山8分）如图，直尺、三角

6、尺都和圆O相切，AB=8cm．求圆O的直径．小结：8例题2（2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．解答：解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°，∵PC=10，PA=6，∴AC==8，∴OA=AC=4，∴⊙O的半径为4；（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°，∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠B

7、AC=∠P，在Rt△PAC中，cos∠P=，∴cos∠BAC=．同步拓展1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．8小结：考点二：切线的判定例题3（2012•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DA

8、B=，求△CBD的面积．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，∴AB⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=，又∵sin∠DAB=，∴BD=6∵C是弧AB的