高考数学大二轮总复习与增分策略-专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形练习 理

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1、第2讲　三角变换与解三角形1．(2016·课标全国丙)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)A.B.C．1D.答案　A解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.3．(2016·上海)方程3sinx＝1＋

2、cos2x在区间[0,2π]上的解为__________．答案　，解析　3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝，∴x＝，.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案　8解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.∴sinBcosC＋co

3、sBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：tanB＋tanC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.16∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，∴≥2，∴tanAtanBtanC≥8.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4

4、.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点一　三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1　(1)已知α为锐角，若

5、cos＝，则cos＝________.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)A.B.C.D.答案　(1)　(2)C解析　(1)因为α为锐角，cos(α＋)＝>0，所以α＋为锐角，sin(α＋)＝，16则sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.又cos(2α－)＝sin(2α＋)，所以cos(2α－)＝.(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα

6、cos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×(－)＝.所以β＝.思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1　(1)已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于(　　)A.B．－C．－D.(2)－等于(　　)A

7、．4B．2C．－2D．－4答案　(1)D　(2)D解析　(1)由sin＝，16得sinαcos－cosαsin＝，即sinα－cosα＝，①又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，因此cosα＋sinα＝－.②由①②得sinα＝，故选D.(2)－＝－＝＝＝＝－4，故选D.热点二　正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a

8、2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.例2　(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．16解