高考数学大二轮总复习与增分策略-专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量练习 文

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1、第3讲　平面向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2016·课标全国丙改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.答案　30°解析　∵

2、

3、＝1，

4、

5、＝1，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.2．(2016·山东改编)已知非零向量m，n满足4

6、m

7、＝3

8、n

9、，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为______．答案　－4解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t

10、m

11、

12、n

13、cos〈m，n〉＋

14、n

15、2＝0，由已知得t×

16、n

17、2×＋

18、n

19、2＝0，解得t＝－4.3．(

20、2016·天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．答案　解析　如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝＋＝＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)15＝·－2＋2－·＝2－2－·.又

21、

22、＝

23、

24、＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.4．(2016·浙江)已知向量a，b，

25、a

26、＝1，

27、b

28、＝2.若对任意单位向量e，均有

29、a·e

30、＋

31、b·e

32、≤，则a·b的最大值是________．答案　解

33、析　由已知可得：≥

34、a·e

35、＋

36、b·e

37、≥

38、a·e＋b·e

39、＝

40、(a＋b)·e

41、，由于上式对任意单位向量e都成立．∴≥

42、a＋b

43、成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一　平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基

44、底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1　(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.15(2)如图，在△ABC中，已知＝2，以向量，向量作为基底，则向量可表示为____________．答案　(1)　(2)＋解析　(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<

45、θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2)根据平面向量的运算法则及已知图形可知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.思维升华　(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1　(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么以向量和向量为基底，向量可表示为__________．(2)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．答案　(1)－　(2)解析　(

46、1)在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.(2)因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.15热点二　平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝

47、a

48、

49、b

50、cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则

51、a

52、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

53、

54、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点

55、F在边CD上，若·＝，则·的值是________．(2)若b＝，

56、a

57、＝2

58、b

59、，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________．答案　(1)　(2)解析　(1)以A为原点，建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，∴＝(，0)，＝(x,2)，∴·＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)．∴＝(，1)，＝(1－，2)，∴·＝×(1－)＋1×2＝.(2)b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，所以

60、b

61、＝1，

62、a

63、＝2.由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，故a·b＝－，

64、故cos〈a，b〉＝＝＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.15思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量