全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案

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1、全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案班级姓名一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列的通项公式，则的最大项是A、B、C、D、解：分母先减后增，以为最小值点，所以最大，故选．2．函数的图像是ABCD解：变式：，故选．3．已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得是直角三角形，则这样的点共有A、0个B、2个C、4个D、6个解：只须考虑直角的可能情形：由抛物线的光学性质：平行与抛物线对称轴的光线射到抛物线上，反射后必经过抛物线的焦点；这样反射点的切线与法线垂直；因此，旋转可知：不可能是直角；而显然不可能是直角，所以只有可能是直角；故选

2、．4．设是定义在上单调减的奇函数．若，，，则A、B、C、D、解：由；同理可得：，；三式相加可得：；故选．55．过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线都成等角的直线一共有A、0条B、1条C、4条D、无数条解：由于12条棱是由三组棱构成，每组4条互相平行；而这三组恰可由过一顶点的3条棱代表；过这个顶点的3条棱，两两互相垂直；又空间一点可以通过平移，看成过这个顶点的情形；考虑正方体如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余7个正方体是辅助的（因为正方体才会有等角）；与中间3条红棱成等角的直线共有4条，即过点的大正方体的4条体对角线；故选．6．在中，，，若的最

3、长边为1，则最短边的长为A、B、C、D、解：构造适合的图形，取，点在上，；且有，，；于是最长，最短，；而；因此，；故选．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合，，则集合的所有元素之和为解：；；；利用容斥原理：．8．设，则的值是解：变式．59．的展开式中，的系数为解：展开：；易知，的系数是．10．已知，则的最大值是解：的几何意义是可行域中的点到原点的距离的平方；画图便知：的最大值是．11．等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当时，有最大值．解：；易知：当或是4的倍数时是正数，才可能是最大的；考察：，可知：取，适合；故当时，有最大值．12

4、．长方体中，已知，，则对角线的取值范围是解：如图，设，，；则由已知可得：，；于是；而由图形可知：；所以，即．三、解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合，．若，求实数的取值范围．解：，；当时，，由，得：；当时，，由，得：；5当时，，与不符．综上所述，．14．椭圆的右焦点为，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且．若这24个点到右准线的距离的倒数和为，求的值．解：在椭圆中，，，故；所以，；设与轴正方向的夹角为，为点到右准线的距离；则．即；同理：；所以：；从而，于是，．15．中，，、分

5、别是边上的高和中线，且；证明是直角．证明：如图，取中点，连；则为中位线，所以，且；而，所以．…………①在直角中，为斜边中点，所以，从而．…………②联合①、②得四点共圆；∴，∴，即．16．设是质数，且的不同正因数的个数不超过10个．求．解：当时，，有个正因数；当时，，有个正因数；所以、满足条件；当时，；其中为奇质数，所以与是相邻的两个偶数，5从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数，从而是24的倍数；设，其中；若中有不同于2、3的质因数，则的正因数个数；若中含有质因数3，则的正因数个数；若中仅有质因数2，则的正因数个数；所以不满足条件；综上所述，所

6、求得的质数是2或3．5