全国高中数学联赛江苏赛区2008年初赛试题答案

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1、全国高中数学联赛江苏赛区2008年初赛试题答案班级姓名一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．如果实数m，n，x，y满足，，其中a，b为常数，那么的最大值为A、B、C、D、解：由柯西不等式可得：；或三角换元即可得到：，当，时，；故选．2．设为指数函数，在P(1，1)，Q(1，2)，M(2，3)，四点中，函数与其反函数的图像的公共点只可能是点A、PB、QC、MD、N120.51解：取，把坐标代入检验，因为，而，所以公共点只可能是点，故选．3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么A、1B、2

2、C、3D、4解：第一、二行后两个数分别为，与，；第三、四、五列中的，，，则；选．4．如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么A、与都是锐角三角形；B、是锐角三角形，是钝角三角形；C、是钝角三角形，是锐角三角形；D、与都是钝角三角形．解：两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设：5，，；则，，，即，矛盾；故选．5．设a，b是夹角为的异面直线，则满足条件“，，且”的平面，的存在情况是A、不存在B、有且只有一对C、有且只有两对D、有无数对解：任作的平面，可以作无数个，在上任取一点，

3、过作的垂线与垂线确定的平面垂直于；故选．二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6．设集合和，其中符号表示不大于的最大整数即取整数部分，则解：因为，所以的值可取；当，则无解；当，则，所以；当，则无解；当，则，所以；所以或．7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是（结果要求写成既约分数）解：考虑对立事件，．8．已知点在内部，，与的面积之比为解：如图，与的底边相同，高是；故面积比是．9．与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为解：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在轴负半轴上；所

4、以所求的轨迹方程为：，或．10．在中，若，则解：切割化弦，已知等式即：，5也即，即，即；所以，，故．三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11．已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为，试求m，n的值．解：由题意可知：，………………………………………………5分所以，所以，即，所以在上是单调递减的，因此有：且；………………10分所以是方程的两个解，方程即，解方程，得解为：，，；所以，故，．………………………………………15分12．设点A、B为双曲线上的两个动点，满足；（1）求证：为定值；（2）动点在

5、线段上，满足，求证：点在定圆上．证明：（1）设点的坐标为，的坐标为，则，，而在双曲线上，则；所以；…………………………………………………………5分由，得，所以，；同理，，5所以．…………………………………10分（2）由三角形面积公式，得，所以，即；即；于是，；即在以为圆心、为半径的定圆上．…………15分13．如图，平面M、N相交于直线l，A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内；已知，，，且，，都是锐角；求二面角的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）．解：在平面中，过作的垂线，交射线于点；在平面中，过作的垂线，交射线

6、于点；设；则，，，，………………………5分并且就是二面角平面角．………………………………………10分在与中，利用余弦定理，可得等式：，所以，，…………………………………15分故得到．…………………………………………………20分514．能否将下列数组中的数填入的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明．（1）2，4，6，8，12，18，24，36，48；（2）2，4，6，8，12，18，24，36，72．解：（1）不能．……………………………………………………

7、……………………………5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数；但是；显然不是立方数；故不能．………………………………………………………10分（2）可以．………………………………………………………………………………15分36224812186724如下表表中每行、每列及对角线的积都是．……………………………………20分5