全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案

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1、全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案班级姓名一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．解：按向量平移就是向右平移个单位且向上平移2个单位，由结果到条件可知：，即；故选．2．解：由，可知方程的根为一正一负；设，则，即；由于，所以或；于是共有7组符合题意．故选．3．解：由，可知：；所以，；故选．4．解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、，直线、确定了一个平面，作与平行的平面，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形；而这样的平面有无数多个．故选．5．解：由，得，于是可知数列模64周期为4，循环数为：，，，；又2005被4除余1，故选．6．解：铺第一

2、列（两块地砖）有种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了A、B两色（如图），那么，第二列的上格不能铺A色；若铺B色，则有即5种铺法；若不铺B色，则有即16种；于是第二列上共有21种铺法；同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法；因此，共有种铺法；故选．二、填空题（本题满分36分，每小题6分）7．解：设，则；所以；即，解得：；因此，．8．解：由题意可知：，即，.…①；由，可得：，从而；又由①式得：，…②；于是有：，整理得：；又因，故，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列；其通项公式为：，即；故填：．49．解：令，则；当时，，得；当时，，得；所以取，故填．10．解：

3、在的延长线上取一点，使，易证，，平面；所以，而，所以到平面的距离为1；故填．11．解：在5位数中，若1只出现1次，有个；若1只出现2次，有个；若1只出现3次，有个；则这样的五位数共有150个；故填150个．12．解：由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集（如图）；考察时，的取值范围：令，代入方程：，得，解出得；当时，，……③；令，代入方程，得，解之可得：；当时，，………④；因此，综合③与④可知，当，即时，；故填．三、解答题（第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分）13．证明：在中，由Menelaus定理得

4、：；因为，所以；………6分由，知∽，则；所以，，即．……12分因此，；又，故．………………15分414．解：当时，由，可得；所以时命题成立；…………………………………………………………………3分当时，由，可得：；所以时命题成立；…………………………………………………………………6分当时，由，可得：；所以时命题成立；…………………………………………………………………9分当时，令，，,则；但是，，故对于命题不成立；综上可知，使命题成立的自然数是：．.…………………………………15分15．设椭圆的方程为，线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦；若在左准线上存在点，使为正三角形，求

5、椭圆的离心率的取值范围，并用表示直线的斜率．Q＇解：如图，设线段的中点为；过点分别作准线的垂线，垂足分别为；则；………6分假设存在点，则，且，即，所以，．………………………………………………………………………………12分于是，，故；若（如图），则；……18分当时，过点作斜率为的焦点弦，它的中垂线交左准线于，由上述运算知，；故为正三角形；………………………………20分若，则由对称性得；…………………………………………22分又，所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．………………………………………………………………24分416．（1）若个棱长是正整数的正方体的体积之和

6、为2005，求的最小值并说明理由．（2）若个棱长是正整数的正方体的体积之和为，求的最小值说明理由．解：（1）因为，，故；因为，所以存在，使；…………………………………………………………6分若，因，则最大的正方体边长只能为11或12；计算，而674与277均不是完全立方数；所以不可能是的最小值；……………………………………………………9分若，设此三个正方体中最大一个的棱长为，由；知最大的正方体棱长只能为9、10、11、或12；由于，，，所以；由于，，，，所以；由于，，，所以；由于，，所以；因此不可能是的最小值；综上所述，才是的最小值．…………………………………………………

7、12分（2）设个正方体的棱长分别是，则；……………………⑤由，，可得：；……⑥…………………15分又当时，，所以，，……⑦……………21分⑤式模9，由⑥、⑦可知：；而，则；……………24分因此为所求的最小值．4