全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案.doc

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1、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日）上午8∶00－10∶00试题构成：类别题号章节知识点适用阶段难度填空题1不等式解不等式高一易2概率与计数原理计数原理高二易3函数估值，周期高一易4导数导函数，基本不等式高二易5解析几何圆，直线高二易6平面向量线性关系高一易7立体几何共面问题高一中8数列零点存在性定理高一难9不等式基本不等式，数的收拢高二中10初等数论整除问题竞赛难解答题11三角函数基本运算高一易12平面几何几何证明竞赛易13解析几何双曲线的离心率高二中14初等数论三角等式

2、，数的轮换竞赛难解题建议：放弃10，12，14适当放弃7，8112016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于的不等式的解集为，则的值是．解析由题设，不等式等价于，从而，解得，所以．故填．2．从中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为．故填．3．已知是周期为的奇函数，且当时，，则的值是．解析注意到，即，所以，所以．故填．评注因为或．或．学会观察，选用合适的方法进行计算．4．已知直线是函数图象的切线，当的斜率最小时，的方程是．解析由题

3、意从而，当且仅当时等号成立．所以直线的斜率最小值为，此时切点为，切线方程为．故填．5．在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是．112016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛解析圆的标准方程为，由题设直线过点，其方程为，即，注意到不经过第四象限，则，解得．故填．6．已知等边的边长为，若，，则的面积是．解析由得点是等边三角形的中心，所以，又由得，且，因此的面积为．故填．JC2016T06D评注若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体的棱长为，点在棱上，点为棱的中点．若过点的平面截该正方体所得的截面为五边形，则的

4、取值范围为．解析先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形，我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接与的延长线交于点，连接并延长与交于，则是所截五边形的第三个顶点．（注：作图方法不唯一）112016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在，设，通过相似可以得，从而只需，解得．故填．评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为中点时，有，即时，截面为四边形；112

5、016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛当移向时，远离，点向点靠拢，此时可形成五边形，即当时，截面为四边形；当时，截面为五边形．因此的取值范围为．故填．8．已知数列的奇数项依次构成公差为的等差数列，偶数项依次构成公差为的等差数列，且对任意，都有．若，，且数列的前项和，则．解析分析知，即，从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出．首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项），设，则，，其次，因为对任意，都有，即只需满足（或），因此对恒成立，分析左边，若需，则必须满足u；分析右边，若需，即，则必须满足．因此分析得．最后，，．故填．评注u若不然，若，则令，

6、解得，若令，则有与题意矛盾．112016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛的理由同u类似．事实上，在解决问题“不等式对恒成立，求实数的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定的情形，本质上否定就是寻找一个，使得，这跟函数的零点以及单调性有关．①当时，恒成立，符合题意；②当时，只许满足，从而；③当时，易知，易知方程的两根为，，又对称轴，所以在上单调递增，又，，所以，使，与题意矛盾．综上所述：实数的取值范围是．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的．9．已知正实数满足，则．分析若不是以整体的形式求

7、出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形．解析解法一：将题设条件式通分并整理，得，整理得，因此，所以．故填．解法二：因为为正实数，所以，等号成立的条件为，所以．故填．112016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛解法三：因为，所以，即，所以．故填．解法四：由，等号成立的条件是，所以．故填．评注常见的不等式链“调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数”，简记为调几算幂，设是个正实数，则．10．设表示满足下列条件的正整数的和：整除，且整除，那么的所有不同正因子的个数为．解析因为，，所以与的素因子相同，而，故可设．这样我们由题设条件可得，且，从而有，故，所

8、以，的所有不同正因子的个数为．评注算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于的整数112016年全国高中