全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案

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1、全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级姓名一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分）1．当时，函数的最大值为解：设，；因为，，，，根据的单调性结合绝对值的性质知：的最大值为18．2．在中，已知，，则解：，，所以．3．从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为解：考虑取出三数从小到大成数列：当时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组；当时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：种情形；故概率为：．4．

2、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为解：由，即；得．5．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点；若的面积为，则直线的斜率为xyOBAF解：由题可设斜率为，，；将代入；得：，，；由，得：；所以，；所以，而，所以．56．已知是正实数，的取值范围是解：两边取对数得：，所以，即的取值范围是．7．在四面体中，，，；该四面体的体积为解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且点在底面上的射影为三角形的外心；所以即为中点，故．8．已知等差数列和等比数列满足：，

3、，，，则解：设公差为，公比为，则；（4）减（3）得：；（3）减（2）得：；上述两式相减：；（1）+（4）得：，（2）+（3）得：；两式相减得，（6）；从而，可得：；所以，；所以，．9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有种．解：将7个数分成3类：（1）的数为：27，48，75，有3个；（2）的数为47，71，有2个；（3）的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第

4、6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故共有种排法．510．三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为解：因为，所以；又因为，所以；所以的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当时，的取值为（9，11）（10，10），有2组；当时，的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当时，的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组；当时，的取值为(3，14）（

5、4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组；当时，的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组故满足要求的三元的个数为24．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分）11．在中，角对应的边分别为，证明：（1）；（2）．证法一：（余弦定理法）（1）；（2）而，所以等式成立．证法二：（正弦定理法）（1）在中，由正弦定理得：，所以（2）由（1）可知：，同理有：；所以；5即；所以，．12．已知为实数，，函数；若，；（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，，求证：

6、．解：（1）由题意可得：；，，，．（2）；设；，在上递增；，时，；∴，在上递减；当，，在上递增，即的减区间为，增区间为．（3），；；所以命题成立．513．如图，半径为1的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点，，，线段交圆于另一点，为线段的中点，求线段长的取值范围．证明：如图，设；，于是，∵为的中点，；又，；得，；，，于是；．14．设是正整数，是方程的两个根；证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形．证明：由题设可知，，由于是正整数，则中任两个数之和大于第三个数，且为正整数，又；故存在边长为（均为正整数）

7、的直角三角形（为斜边）符合题设要求．5