全国全国高中数学联赛江苏赛区初赛测验

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1、2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．4．已知＝，则实数x＝．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝

2、2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。9．设

3、数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB

4、＝28，CE＝12．求BC．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。8/813．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．填0．解

5、：由于

6、sinα

7、≤1，

8、cosβ

9、≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πÞα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。∴cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。填11．解：设公差为d，则得55＝－5×11＋×11×10dÞ55d＝1

10、10Þd＝2．ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)Þk＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．填．解：由(2b)2＝2c×2aÞa2－c2＝acÞe2＋e－1＝0Þe＝．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。4．已知＝，则实数x＝．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。填1．8/8解：即＝Þ32x－4×3x＋3＝0Þ3x＝1(舍去)，3x＝3Þx＝1．贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点

11、，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。填．解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶

12、4．又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单