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1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛一．选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数的图像按向量平移后,得到的图像的解析式为.那么的解析式为A.B.C.D.2.如果二次方程N*)的正根小于3,那么这样的二次方程有A.5个B.6个C.7个D.8个3.设,那么的最小值是A.2B.3C.4D.54.设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个5.设数列:,N*,则被64除的余数为A.0B.2C.16D.486.一条走廊宽
2、2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有A.个B.个C.个D.个二．填空题(本题满分36分,每小题6分)7.设向量绕点逆时针旋转得向量,且,则向量.8.设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和,对于任意正整数,与2的等差中项等于与2的等比中项,则该数列的通项公式为.9.函数R)的最小值是.10.在长方体中,,点、、分别是棱、与的中点,那么四面体的体积是.11.由三个数字、、组成的位数中,、、都至少出现次
3、,这样的位数共有.12.已知平面上两个点集R},R}.若,则的取值范围是.三．解答题(第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13.已知点是的中线上的一点,直线交边于点,且是的外接圆的切线,设,试求(用表示).14.求所有使得下列命题成立的正整数:对于任意实数,当时,总有(其中).15.设椭圆的方程为,线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点,使为正三角形,求椭圆的离心率Q＇的取值范围,并用表示直线的斜率.16.(1)若N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求的最小值,并说
4、明理由；(2)若N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2002,求的最小值,并说明理由.2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案一．选择题1,B,即.故选B．2,C由,知方程的根为一正一负．设，则,即.由于N*，所以或.于是共有7组符合题意．故选C．3,C由,可知所以，.故选C．4,D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、,直线、确定了一个平面作与平行的平面,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面有无数多个．故选D．5,C数列模64周期地为2，16，－2，－16，…….又2
5、005被4除余1,故选C．6,D铺第一列(两块地砖)有种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺色．若铺色，则有种铺法；若不铺色，则有种方法.于是第二列上共有种铺法.同理，若前一列铺好，则其后一列都有种铺法．因此，共有种铺法．故选D．二．填空题7,设,则,所以即解得因此，.8,N*)．由题意知，即.…①由得,从而.又由①式得,…②于是有,整理得.因,故,所以数列是以为首项、为公差的等差数列，其通项公式为,即.故填N*)．9,令，则．当时，，得；当时，，得又可取到,故填．1
6、0,在的延长线上取一点，使.易证,，平面．故．而，G到平面的距离为．故填．11,在位数中,若只出现次，有个；若只出现次，有个；若只出现次，有个．则这样的五位数共有个．故填个.12.由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察时,的取值范围:令,代入方程,得，解出得．所以，当时,．…………③令，代入方程,得.解出得．所以，当时,．…………④因此,综合③与④可知，当，即时,．故填.三．解答题13,证明：在中，由Menelaus定理得．因为，所以．…
7、……………6分由，知∽，则．所以，，即．……………………12分因此，．又，故．……………………15分14,解：当时，由，得．所以时命题成立.……………………3分当时，由，得.所以时命题成立.…………………6分当时，由，得．所以时命题成立．………………9分当时，令，，,则.但是,，故对于命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是.……………15分15,解：如图,设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线,垂足分别为、、,则．……………6分假设存在点，则，且，即，所以，．…………………………12分于是，，故．若(如
8、图)，则.……………18分当时,过点作斜率为的焦点弦,它的中垂线交左准线于,由上述运算知,．故为正三角形.…………21分若，则由对称性得．………………24分又,所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．16,解：(1)因为,，故.因为，所以存在，使．………………6分若，因,则最大的正方体边长只能为或，计算，而与均不是完全立方数,所以不可能是的最小值.………………9分若，设此三个正方体中最大一个的
