2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

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1、全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程的实数解为．提示与答案：x＜0无解;当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．2．函数R的单调减区间是.提示与答案：与f(x)=y2=1+

2、sin2x

3、的单调减区间相同，Z．3．在△中，已知，，则＝.提示与答案：，得．4．函数在区间上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为．提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC

4、相切，R最大时圆过点B．[，10]．6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，k∈Z.所以至少有50个零点.（第7题）7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为．9．在三棱锥中，已知，，且．已知棱的长为，则此棱锥

5、的体积为．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144．10．设复数列满足，，且．若对任意N*都有，则的值是．提示与答案：由，恒成立，即.因为或，故，所以．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y12＝1，＋y22＝1．由，得M(x1＋x2，y1＋y2)．因为M是椭圆C上一点，所以＋(y1＋y2)2＝1，…………………6分即(＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，得()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故＋

6、y1y2＝0．…………………14分又线段AB的中点的坐标为(，)，所以＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上．………………20分12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得．解：(1)设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，即9d2－14d+5=0，得d=1.…………………6分当n≤6时，an=n－4，由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比

7、为2，所以，当n≥5时，an=2n-5.故an=…………………10分(2)由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m=3时等式成立，即－1+0+1=0；当m=2、4时等式不成立；…………………15分当m≥5时，amam+1am+2=23m-12，am+am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，7×2m-5≠23m-12，所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2.故所求m=1，或m=3．…………………20分13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.过点作平行于的直线

8、，与直线、分别交于点、．证明：(1)点、、、共圆；(2)四边形是矩形．ABCDEFHG证明：(1)由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，∴∠BAF=∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；…………………8分(2)由(1)的结论，得∠BHA=∠BFA，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG=∠DAB=∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900,∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．解：若x=

9、y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2，∴x2+3x=(x+1)2，∴x=y=1.………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y=(x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平