2016届中考数学（通用版）复习专题学案：运动型问题

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1、运动型问题【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变

2、化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形

3、的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一　点的运动典例1　(2015·江西)如图(1),AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求△OPC的最大面积;(2)求∠OCP的最大度数;

4、(3)如图(2),延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.(1)(2)【全解】(1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.在△OPC中,设OC边上的高为h,∴当h最大时,S△OPC取得最大值.观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示:(1)此时h=半径=2,S△OPC=22=4.∴△OPC的最大面积为4.(2)当PC与☉O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示:(2)∴∠OCP=30°.∴∠OCP的最大度数为30°.(3)如图(3),连接AP,BP.(3)∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD

5、.∵=,∴=.∴AP=BD.∵CP=DB,∴AP=CP.∴∠A=∠C.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.在△ODB与△BPC中,∴△ODB≌△BPC(SAS).∴∠D=∠BPC.∵PD是直径,∴∠DBP=90°.∴∠D+∠BPD=90°.∴∠BPC+∠BPD=90°.∴DP⊥PC.∵DP经过圆心,∴PC是☉O的切线.【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则△OPC的面积最大;观察

6、图形,当OP⊥OC时满足要求;(2)PC与☉O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是☉O的切线.举一反三1.(2015·黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长.(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达

7、式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?(第1题)　　【小结】解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.类型二　线的运动典例2　(2015·广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出

8、发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).备用图(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.(2)在整个运