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1、2016中考数学运动型问题专题复习学案运动型问题【题型特征】用运动的观点探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等)【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变
2、化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系二是要运用好相应的几何知识三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题求解解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解
3、题启示解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确类型一 点的运动典例1 (201•江西)如图(1),AB是☉的直径,点在AB的延长线上,AB=4,B=2,P是☉上半部分的一个动点,连接P,P(1)求△P的最大面积;(2)求∠P的最大度数;(3)如图(2),延长P交☉于点D,连接DB,当P=DB时,求证:P是☉的切线(1)(2)【全解
4、】(1)∵AB=4,∴B=2,=B+B=4在△P中,设边上的高为h,∴当h最大时,S△P取得最大值观察图形,当P⊥时,h最大,如图(1)所示:(1)此时h=半径=2,S△P=22=4∴△P的最大面积为4(2)当P与☉相切时,∠P最大如图(2)所示:(2)∴∠P=30°∴∠P的最大度数为30°(3)如图(3),连接AP,BP(3)∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∵=,∴=∴AP=BD∵P=DB,∴AP=P∴∠A=∠∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠在△DB与△BP中,∴△DB≌△BP(SAS)∴∠D=∠BP∵PD是直径,∴∠DBP=90°∴∠D+∠BPD=90°∴
5、∠BP+∠BPD=90°∴DP⊥P∵DP经过圆心,∴P是☉的切线【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键(1)在△P中,底边长度固定,因此只要边上高最大,则△P的面积最大;观察图形,当P⊥时满足要求;(2)P与☉相切时,∠P的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接AP,BP通过△DB≌△BP可求得DP⊥P,从而求得P是☉的切线举一反三1(201•黑龙江牡丹江)如图,在Rt△AB中,∠AB=90°,A=8,B=6,D⊥AB于点D点P从点D出发,沿线段D向点运动,点Q从
6、点出发,沿线段A向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到时,两点都停止设运动时间为t秒(1)求线段D的长(2)设△PQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△PQ∶S△AB=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由(3)当t为何值时,△PQ为等腰三角形? 【小结】解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解类型二 线的运动典例2 (201•广东)如图,在△AB中,AB=A,AD⊥B于点D,B=
7、10,AD=8点P从点B出发,在线段B上以每秒3的速度向点匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线从底边B出发,以每秒2的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,A,AD于点E,F,H,当点P到达点时,点P与直线同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0)备用图(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由【解析】(1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;(2)如图
8、(2)所示
