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时间：2018-10-09
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1、§5边值问题解的能量模估计5.1Gronwall不等式定理5.1设％(r)，/(r)为定义在io，r)上的非负连续函数，且/u)是io，r)上的单调增函数，x(z)gci[o，r),如果/(t),zg[o,t)m〉o为常数)，则有dtAate'Alx(r)-x(O)<£e-ATf(r)dr2、0,T),(A〉0为3、常数)，则有证明令)也=/(厂)，/V)=XOo使得4、Qtdtdx^u{x,t)=(p{x)05、y~Idxdto6、07、2(x,t、dx-£w2(x,O)tZr)，•2d2uudxds=~a2^\^u^ds=a2Xdu3xdxds]Qtfudxds=££fiidxdt<~Q()Jo办也+££/2(x,5}dxdsdu从而得;J。w2(x，O办+“2JoJjfIdxds£(p~+去J()J()u2dxds+8、LLf2{x,s)dxds,(5.3)令Q(f)=£w2()dx,B(Z)=J(x}dx+££/2()dxds,B(Z)20,B(7)单凋增加由(5.3)得£1⑴+2“2£J(:〔芋)efcfe0(.y)tfe+B⑴，Q(Z)<£Q9、(5)ds+B(0，由Gronwall不等式，得Q(z)<^B(r)10、11、dxdt12、(x))2办+£)f2dxdt，supa2^ux2{x,t)dx13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
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3、常数)，则有证明令)也=/(厂)，/V)=XOo使得4、Qtdtdx^u{x,t)=(p{x)05、y~Idxdto6、07、2(x,t、dx-£w2(x,O)tZr)，•2d2uudxds=~a2^\^u^ds=a2Xdu3xdxds]Qtfudxds=££fiidxdt<~Q()Jo办也+££/2(x,5}dxdsdu从而得;J。w2(x，O办+“2JoJjfIdxds£(p~+去J()J()u2dxds+8、LLf2{x,s)dxds,(5.3)令Q(f)=£w2()dx,B(Z)=J(x}dx+££/2()dxds,B(Z)20,B(7)单凋增加由(5.3)得£1⑴+2“2£J(:〔芋)efcfe0(.y)tfe+B⑴，Q(Z)<£Q9、(5)ds+B(0，由Gronwall不等式，得Q(z)<^B(r)10、11、dxdt12、(x))2办+£)f2dxdt，supa2^ux2{x,t)dx13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
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5、y~Idxdto6、07、2(x,t、dx-£w2(x,O)tZr)，•2d2uudxds=~a2^\^u^ds=a2Xdu3xdxds]Qtfudxds=££fiidxdt<~Q()Jo办也+££/2(x,5}dxdsdu从而得;J。w2(x，O办+“2JoJjfIdxds£(p~+去J()J()u2dxds+8、LLf2{x,s)dxds,(5.3)令Q(f)=£w2()dx,B(Z)=J(x}dx+££/2()dxds,B(Z)20,B(7)单凋增加由(5.3)得£1⑴+2“2£J(:〔芋)efcfe0(.y)tfe+B⑴，Q(Z)<£Q9、(5)ds+B(0，由Gronwall不等式，得Q(z)<^B(r)10、11、dxdt12、(x))2办+£)f2dxdt，supa2^ux2{x,t)dx13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
6、07、2(x,t、dx-£w2(x,O)tZr)，•2d2uudxds=~a2^\^u^ds=a2Xdu3xdxds]Qtfudxds=££fiidxdt<~Q()Jo办也+££/2(x,5}dxdsdu从而得;J。w2(x，O办+“2JoJjfIdxds£(p~+去J()J()u2dxds+8、LLf2{x,s)dxds,(5.3)令Q(f)=£w2()dx,B(Z)=J(x}dx+££/2()dxds,B(Z)20,B(7)单凋增加由(5.3)得£1⑴+2“2£J(:〔芋)efcfe0(.y)tfe+B⑴，Q(Z)<£Q9、(5)ds+B(0，由Gronwall不等式，得Q(z)<^B(r)10、11、dxdt12、(x))2办+£)f2dxdt，supa2^ux2{x,t)dx13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
7、2(x,t、dx-£w2(x,O)tZr)，•2d2uudxds=~a2^\^u^ds=a2Xdu3xdxds]Qtfudxds=££fiidxdt<~Q()Jo办也+££/2(x,5}dxdsdu从而得;J。w2(x，O办+“2JoJjfIdxds£(p~+去J()J()u2dxds+
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12、(x))2办+£)f2dxdt，supa2^ux2{x,t)dx13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
13、£(^/(x))26^+Jef2dxdt'其中尤为常数.证明用#■乘以方程式两端，并在（2,上积分，得atdu2udtdx2du~dtdxdsdu逐项处理如下2rd^udu-,9er—7dxds=-adx^dtd2ud"dx2dsdxdud(duds=a2n1——JoJodxdx{dsdxds22dx-dxdudx2dxdsy[£^2(x>r)dx_£%2⑴办.2IM+tJX("似2(P:Qx、d
14、xH—JI——Idxds+dxds3dxds+“2£ux2(x，t)dx15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
15、S+^^~f?dxdS?f)2dxds2~2erdt[(¥)2+/2Wv<4^2£(^W)2^+2j0fdxdt]于是kdxdt~尺[£(识'⑵)2也+L,f編q。由能量估计，可得解的唯一性,解对初值和非齐次项的连续依赖性的证明:进一步，可给出弱解、强解的存在唯一性的证明。
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