抛物型方程初边值问题解的最大模估计-论文.pdf

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1、第30卷第3期大学数学VoI．3O，№．32014年6月C0LLEGEMATHEMATICSJun．2014抛物型方程初边值问题解的最大模估计黄守军，段双双(安徽师范大学数学计算机科学学院，芜湖241000)[摘要]通过构造合适函数变换的方法，建立维抛物型方程第二初边值问题古典解的最大模估计，并由此得到该定解问题解的唯一性和稳定性．[关键词]抛物型方程；初边值问题；最大模；唯一性；稳定性[中圈分类号]O175．2[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2014)03-0015-031引言抛物型方程(热传导方程)是数学物理中非常重要的方程之一，

2、是描述许多自然物理现象的基本方程组，例如可以刻画热量在物体中传播和分布，流体的渗透，半导体材料中杂质的扩散等．不仅如此，抛物型方程在社会科学中也有很多的应用，最著名的例子之一就是金融数学中的Black-Sholes方程，在期权定价中非常有用．有关抛物型方程或者说热传导方程的研究最早起源于傅里叶，他著名的《热的解析理论》Ll曾经影响了很多人，也大大促进了数学的发展，例如现在熟知的、应用非常广泛的傅里叶级数和傅里叶变换等．在实际应用中，研究热传导现象，往往可以归结为研究相应的初边值问题，而其边界条件通常分为第一、第二和第三边界条件(也称为狄利克莱、诺伊曼

3、和罗宾边界条件)．如果可以得到这些定解问题古典解的最大模估计，对于研究古典解的性质，特别是研究古典解的唯一性和稳定性具有非常重要的意义．本文重点对线性抛物型方程具有第二类边界条件的初边值问题进行研究，因为在很多文献中没有给出古典解的最大模估计，特别是对于空间维数大于2的情形．本文首先给出维抛物型方程解的最大模估计，由E2]可知，对于一维抛物型方程的第二初边值问题，我们不能直接利用最大模估计得到其解的唯一性与稳定性，而是通过构造函数变换的方法将其转化为第三初边值问题，从而利用最大模估计得到其解的唯一性与稳定性．受此启发，对于维情形我们采用同样的方法去建

4、立解的最大模估计．为简单起见，本文首先考虑球形区域上热量的分布，此时在抛物边界上，热量的外法向量具有很好的对称性，容易构造未知函数的变换，从而将热传导方程的第二初边值问题转化为第三初边值问题，而后者古典解的最大模估计已经有了结果J．2主要结果和证明引理s假设D是给定的，l+1维区域．把D中的点写成(，￡)，其中X一(，⋯，X)．在D内考虑抛物算子L“：一一口(z，t)D“+(z，t)D,u+c(x，t)u．假设(A)在D内L是抛物型算子，即对于任意的(z，￡)∈D，∈R，Y≠0，都有a(，t)yj>0；[收稿日期]2013-08-05[基金项目]安徽

5、省教育厅自然科学研究重点项目(KJ2olOA13o)；安徽师范大学本科生优秀毕业论文培育计划项目16大学数学第30卷假设D有界，D的边界aD由位于t一0上的区域的闭包B。，t—T上的区域的闭包B以及位于带域00在S上成立．假设条件(A)和(B)成立，c(x，￡)≥一Co，常数Co>0．又设a≥口。>0，C()n∈C，(DUBt)是上述

6、初边值问题的解，则有sU。pII≤eTsupl，L+max{去supup1))。证明参见文献[3]．下面的定理是本文的主要结果．定理对任意给定的T>0，热传导方程的第二类初边值问题f一△“===0，(zl，⋯，z一，)∈DUBT，一--，，⋯，∈B。一，⋯，l耋z≤R)，㈩II一．．，，(⋯，z)∈s一，⋯，l。

7、未知量满足如下方程一一奎一—奎一『(-1)奎z+0，R”一∑?+1R”一∑x7+1_i=1R一∑+1；1薯1而相应的初始条件和边界条件为“I。=硼(l，⋯，x)(l，⋯，)，(+)s—g(⋯，．T即得到如下的第三类初边值问题2zu∑xT-}(一1)∑xT-+—一]=0．i=1R一∑+1f一1i=1R一∑端1+1R一∑五n+1(zl，⋯，z，t)∈DUBT，一””⋯，∈B0=，⋯，骞≤}，(+)l⋯⋯=⋯，)J<≤丁)．第3期黄守军，等：抛物型方程初边值问题解的最大模估计17容易看出问题(3)满足引理的条件．设“是问题(3)的解，则由引理可得如下估计s

8、upIU一14Decomax{1GOsSuTp，sBupI’1)J，其中CO—z(一1)()一+2s()。一