线性时不变系统的齐次方程的解课件

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1、第三章状态方程的解3.1线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解3.2矩阵指数3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解3.4线性时不变系统的状态转移矩阵3.5线性时变系统状态方程的解3.6连续系统的时间离散化3.7线性离散系统状态方程的解引言对线性系统动态性能进行定量分析实质上是求解其动态数学模型方程并分析解的性质，有传递函数法和状态空间分析法两种方法。状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理

2、论的主要任务之一。线性定常系统(LTISystem)在输入u=0时，由初始状态引起的运动称为自由运动，其可用式（3.1.2）所示的齐次状态方程描述，即：（3.1.2）式中x(t):线性定常系统的n维状态向量；x(t0):n维状态向量在初始时刻t=t0的初值；A:线性定常系统的n×n维系统矩阵。3.1线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解其中控制输入u=0。它的解x(t)(其中t≥t0）称为自由运动的解或零输入响应。齐次状态方程：1.若A为标量，有：初始时刻t0=0,则2.若A为方阵：由1知，当A=a时，有指数函数:类似的，对一般的矩阵A可以定义矩阵指数函数：绝对一致收敛级数称为矩

3、阵指数矩阵级数注：【结论1】LTI系统的零输入响应xou(t),即系统自治状态方程的解具有如下表达式：（3.1.2）（3.1.4）证明：设自治方程（3.1.2）的解为如下所示的向量幂级数，即将（1）代入式（3.1.2），得若所设的解为真实解，则(2)式两边同幂次项系数应相等，即（1）（2）将初始条件代入式（1）,得，则自治方程的解为（3）式（3）中，I为n阶单位矩阵。定义式（3）括号中的n阶矩阵无穷级数为矩阵指数，即式中,规定。则式（3.1.2）的解可用系统矩阵A的矩阵指数表达为（3.1.4）式（3.1.4）表明，线性定常系统在无输入作用即当时，任一时刻t的状态x(t)是由起始时刻

4、t0的初始状态x(t0)在(t-t0)时间内通过矩阵指数演化而来的。鉴于此，将矩阵指数称为状态转移矩阵，并记为状态转移矩阵是现代控制理论最重要概念之一，由此可将齐次状态方程的解表达为统一形式，即它的物理意义是：自由运动的解仅是初始状态的转移，状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，其唯一决定了系统中各状态变量的自由运动。若t0=0，则对应初始状态为x(0)=x0，自由运动的解为