齐次线性方程组解的性质

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1、１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解．由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．１．基础解系的定义二、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的

2、个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为定理1例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有请归纳利用基础解系求解齐次线性方程组的步骤。１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质导出组的概念其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1

3、）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．解例2求解非齐次线性方程组由（2）可得原方程组导出组的同解方程组对（3）中自由未知量取三组特殊值：亦即由例（2）可归纳出求解非齐次线性方程组的步骤：对增广矩阵B进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵C写出C对应的原方程组的同解方程组确定自由未知量，对自由未知量取零值得到一个特解利用C写出导出组的同解方程组得到导

4、出组的基础解系利用特解和基础解系写出通解１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况思考题思考题解答