齐次线性方程组基础解系

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1、齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式,其主要结论有:(1)齐次线性方程组AX=0一定有解,解惟一的含义是只有零解,有非零解的含义是解不惟一(当然有无穷多解)。有非零解的充要条件是R(A)

2、-r(A)个线性无关的解都是基础解系。定理1:设A是的矩阵,B是的矩阵,并且AB=0,那么r(A)+r(B)分析:这是一个非常重要的结论,多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证:设,则,AB=0,即所以所以,都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩所以r(A)+r(B)评论:AB=0,对B依列分块,时处理此类问题的惯用方法。例1:要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)[-211](B)(C)(D)解:由答案之未知量的个数是3。都是线性方程组的解,并且线性无关,所以.只有(A)是正确的。例2:设n阶方

3、阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为.解:记,由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,所以,且A的秩为n-1,所以就是七次线性方程组AX=0的基础解系,所以,线性方程组AX=0的通解为例3:已知Q=,P为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则(A)t=6时P的秩必为1(B)t=6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1(D)t6时P的秩必为2解:记,因为都是齐次线性方程组,的解,当时,线性无关,所以P为非零方阵,所以因而:t6时P的秩必为1,选(C)另解:因为,当时,P为非零方阵,所以因而:t6时P

4、的秩必为1,选(C)例4:设A是n()阶方阵,是的伴随矩阵,那么:证明:时,由伴随矩阵的定义知,伴随矩阵是零矩阵,;时,A时可逆矩阵,,而,时,A存在不为0的n-1阶子式,所以此时,,,所以从而

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