2、系。定理1:设A是mn的矩阵，B是门s的矩阵，并且AB二0,那么r⑷+r(B)n分析：这是一•个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证：设B的列向量为B1,B2,,Bs,则B(B1,B2,,Bs),AB=0,即A(B1,B2,,Bs)0所以ABj0,j1,2,,s所以，B1,B2,,Bs都是齐次线性方程组AB二0的解r(B)=秩(B1,B2,,Bs)nr(A)所以r(A)+r(B)n评论：AB=0,对B依列分块，时处理此类问题的惯用方法。10只要系数矩阵A为例1：要使10,2I,都是线性方程组AX0的解,21011201102422(A)[-21
3、1](B)(0(D)01101110110解：山答案之未知量的个数是：3。10,21，都是线性方程组AX0的解，并且211,2线性无关,所以3r(A)2,从而，r(A)1.只有(A)是正确的。例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组AX二0的通解为.11解：记，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零，所以A0,01且A的秩为n-1,所以就是七次线性方程组AX二0的基础解系，11所以，线性方程组AX二0的通解为k1123例3：U知Q二24t,P为3阶非零方阵，且满足PQ二0,则369(A)t二6时P的秩必为1(B)t=6时P的秩必为2(016时P的秩必为
4、1(D)t6时P的秩必为2123因为PQ0,所以解：记Q(Q1,Q2,Q3)241,Q1,Q2,Q3都是齐次线性方程组，369PX0的解，当t6吋，Q1,Q3线性无关，所以：3r(P)2,I)为非零方阵，所以玖卩)1因而：t6时P的秩必为1,选(C)另解：因为PQ0,所以r(P)r(Q)3,当t6时，r(Q)2,P为非零方阵，所以r(P)1因而：t6时P的秩必为1,选(C)即r(P)1r(P)1*例4：设A是n(2)阶方阵，A是的伴随矩阵,那么：0r(A*)1n当r(A)n1当r(A)n1当r(A)n证明：当r(A)n1时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵，r(A*)0；当
5、r(A)n时，A时可逆矩阵，A0,而AA*E,AA*An,r(A*)n当r(A)n1时，A存在不为0的门-1阶子式，所以r(A*)1此吋，A0,AA*0,所以r(A)r(A*)n,r(A*)1从而r(A*)1A*0
