分类与整合思想方法

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1、专题三分类整合的思想方法1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.专题三分类整合的思想方法知识概要2.运用分类整合思想解题的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)

2、对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.专题三分类整合的思想方法知识概要3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中

3、两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等；专题三分类整合的思想方法知识概要(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.知识概要专题三分类整合的思想方法考题剖析一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上的截距相等，则这直线方程为（　　）A.x+y－7=0B.2x－5y

4、=0C.x+y－7=0或2x－5y=0D.x+y+7=0或2y－5x=01.C［解析］设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y=x，即2x－5y=0；当a≠0时，设直线方程为，则求得a=7，方程为x+y－7=0.［点评］截距是很容易出错的一个概念，它实质上表示坐标的意义，有正、有负、有零三种情况，解题中，很容易将截距为零这一种情况漏掉.专题三分类整合的思想方法2.若a＞0，且a≠1，p=loga(a3+a+1)，q=loga(a2+a+1)，则p、q的大小关系为（　　）A.p=qB.p＜

5、qC.p＞qD.a＞1时，p＞q；0＜a＜1时，p＜q专题三分类整合的思想方法考题剖析2.C［解析］欲比较p、q的大小，只需先比较a3+a+1与a2+a+1的大小，再利用对数函数的单调性.而决定a3+a+1与a2+a+1的大小的a值的分界点为使(a3+a+1)－(a2+a+1)=a2(a－1)=0的a值：a=1，当a＞1时，a3+a+1＞a2+a+1，此时loga(a3+a+1)＞loga(a2+a+1)，即p＞q；当0＜a＜1时，a3+a+1＜a2+a+1，此时loga(a3+a+1)＞loga(a2+a+1)即p＞q.

6、可见，不论a＞1还是0＜a＜1，都有p＞q.［点评］这是一个含参数问题的处理，一般来说，有字母就要注意讨论，本题中，比较两对数值的大小，只需要比较两真数的大小，差比法中因为差的结果中含有参数，这也就引起了讨论.专题三分类整合的思想方法考题剖析3.函数f(x)=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为　（）A.［0，+∞)B.(－∞，1］C.(0，1］D.（0，1）专题三分类整合的思想方法考题剖析3.B［解析］当m=0时，f(x)=－3x+1，其图象与x轴交点为（，0）满足题意；

7、当m≠0时，再分m＞0，m＜0两种情形，由题意得解得0＜m≤1或m＜0.综上可知，m=0或m＜0或0＜m≤1即m≤1故选B专题三分类整合的思想方法考题剖析［点评］对于f(x)=mx2+(m－3)x+1这种函数，学生在解题时，想当然地将它当作了一个二次函数来处理，忽略了m=0的讨论，一般地，最高次幂的项的系数含有字母、参数时，一定要注意讨论它与0的关系.专题三分类整合的思想方法考题剖析4.［解析］当a=0时，Sn=0;当a≠0时，为等比数列求和.①若a≠1，则由求和公式得Sn=；②若a=1时，Sn=n.综合得Sn=专题三分类

8、整合的思想方法考题剖析4.求和Sn=a+a2+…+an=________.［点评］由于等比数列定义本身有限制条件，等比数列求和公式是分类给出的，因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论.这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为a=0和a≠0，第二层分类的依据是等比数列求和公式的应用条件.