计量经济学讲义

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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列计量经济学讲义浙江工商大学金融学院姚耀军目录第一讲OLS的代数2第二讲OLS估计量17第三讲假设检验33第四讲异方差63第五讲自相关81第六讲多重共线106第七讲虚拟变量121第八讲时间序列初步：平稳性与单位根133第九讲协整与误差修正模型157第十讲ARCH模型及其扩展164176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第一讲OLS的代数一、问题假定y与x具有近似的线性关系：，其中是随机误差项。我们对这两个参数的值一无所知。我们的任务是利用样本去猜测的取值。现在，我们手中就有一个样本容量为N的样本，其观测值是：。问题是，如何利用该样本来猜测的取值？一个简

2、单的办法是，对这些观察值描图，获得一个横轴x，纵轴y的散点图。既然y与x具有近似的线性关系，那么我们就在散点图中拟合一条直线：。该直线是对y与x的真实关系的近似，而分别是对的猜测（估计）。问题是，如何确定与，以使我们的猜测看起来是合理的呢？二、OLS的两种思考方法法一：与是N维空间的两点，与的选择应该是这两点的距离最短。这可以归结为求解一个数学问题：176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列在这里定义了残差。法二：给定，看起来与越近越好（最近距离是0）。然而，当你选择拟合直线使得与是相当近的时候，与的距离也许变远了，因此，存在一个权衡。一种简单的权衡方式是，给定，拟合直线的选择应该使与

3、、与、...、与的距离的平均值是最小的。距离是一个绝对值，数学处理较为麻烦，因此，我们把第二种思考方法转化求解数学问题：由于N为常数，因此上述两个数学问题对于求解与的值是无差异的。一、求解定义，利用一阶条件，有：176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列方程（1）与（2）被称为正规方程。由（1），有：把带入（2），有：关于正规方程的直觉：无论用何种估计方法，我们都希望残差所包含的信息价值很小，如果残差还含有大量的信息价值，那么该估计方法是需要改进的！对模型176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列利用OLS，至少我们能保证（1）：残差均值为零；（2）残差与解释变量x不相关【一个变量与另一

4、个变量相关是一个重要的信息】。练习：(1)利用离差之和为零的代数性质，验证：补充：定义y与x的样本协方差为：；x的样本方差为，则我们用表示总体协方差，表示总体方差。上述定义的样本协方差及其样本方差分别是对总体协方差及其总体方差的一个有偏估计；及其才分别是对总体协方差及其总体方差的一个无偏估计。176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列(2)假定，用OLS法拟合一个过原点的直线：，求证在OLS法下有：并验证：笔记：①现在只有一个正规方程，该正规方程同样表明。②无截距回归公式的一个应用假定y与x真实的关系是：对（3），按照无截距回归公式，有：176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列(3)假

5、定，用OLS法拟合一水平直线，即：，求证。一、一些基本的性质对于简单线性回归模型：，在OLS法下，存在如下代数性质：（一）拟合直线过点，。（二）由正规方程（1）可知，残差之和为零。注释：只有拟合直线带有截距时才存在正规方程（1）。（三）由正规方程（2）可知，残差与x的样本协方差为零，即残差与x样本不相关。【注意：该性质的获得也利用了性质（二）】。练习：证明残差与也是样本不相关的。（四）定义其中TSS、ESS、RSS分别被称为总平方和、解释平方和与残差平方和。则：TSS=ESS+RSS。176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列证明：练习：（1）基于前述对Var(x)、Cov(x,y)的

6、定义，验证：其中a，b是常数本讲义一般利用Var(x)及其Cov(x,y)表示样本方差和协方差，但有时为表述方便，也用它们来表示总体方差和协方差。但无论如何，此处的公式在两种情况下都是可用的。。（2）对于简单线性回归模型：，在OLS法下，证明提示：（五）为了判断拟合直线对观测值的拟合程度，我们定义判定系数。显然，176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列，而意味着各残差都为零，即拟合直线与样本数据完全拟合。R2也是与的样本相关系数r的平方。证明：练习：（1）对于简单线性回归模型：，在OLS法下，证明R2是y与x的样本相关系数的平方。（2）对于模型：，在OLS法下，证明R2=0。一个警告

7、！软件包通常是利用公式，其中来计算R2。应该注意到，我们在得到结论时利用了的性质，而该性质只有在拟合直线带有截距时才成立，因此，如果拟合直线无截距，则上述结论并不一定成立，因此，此时我们不能保证R2为一非负值。总而言之，在利用R2时，我们的模型一定要带有截距。当然，还有一个前提是，我们所采用的估计方法是OLS。176浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列一、R2、调整的R2、自由度我们估计总体均值至少需要一个观测值，估计总体方差至少需要两个观测值，进而推之，需