高考数学（四海八荒易错集）-专题12 空间平行与垂直 理

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1、专题12空间平行与垂直1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案　②③④解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角

2、的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案　a或2a整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.183．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③VB—ACE是a3；④平面ABC⊥平面ADC.其中正确的是________．(填写你认为正确的序号)答案　①③④解析　作出折叠

3、后的几何体的直观图如图所示：∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，18∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACEF；(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．(1)证明　∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，∴∠D

4、CA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF.(2)解　当FM＝a时，AM∥平面BDE.证明如下：18设AC∩BD＝N，连接EN，如图．∴当FM＝a时，AM∥平面BDE.5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明　(1)由已知，DE为

5、△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，18又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.6．如图1，在

6、正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．(1)证明　在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.图1因为EF∩EB＝E，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2

7、)解　在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．18理由如下：如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图2，取A1P的中点M，连接MK，图2易错起源1、空间线面位置关系的判定例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和平面

8、α，下列命题正确的是(　　)A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b答案　(1)D　(2)D18解析　(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．(2)线面平行的判定定理中的条件要求a