2009年华南理工大学数学分析考研试题及解答

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1、华南理工大学2009年数学分析考研试题1、设函数，其中在的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求。2、设，试证：。3、设，求的极值。4、设，求。5、计算，其中C为椭圆，方向为逆时针方向。6、计算，其中S为柱面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面外侧。7、设，判断在上是否一致连续，并给出证明。8、计算积分，其中。9、计算积分。10、设，讨论以下性质：（1）的连续性；（2）的存在性和连续性；（3）的可微性。11、设，判断级数的敛散性。12、设在内有一阶导数，试证：（1）若，则方程在内至少有一个实根；（

2、2）若，则方程在内至少有一个实根。7华南理工大学2009年数分考研试题解答1、解：由导数的定义我们有：2、证：设，则，于是，，由此在上严格单调递减，故，因此在上严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。3、解：，求偏导数得：注意到，即得到二元一次方程组，解得唯一驻点为，，7再由，，，可知点（2，1）是极大值点，极大值为4.且在上的最大值为4。或者由于，故由，知点（2，1）是极大值点，极大值为4.或者，得在上的最大值为4，。4、解：，于是。5、解：做变换，则，其中：，于是再取的参数方程：，代入计算

3、就得到：。76、解：由奥高公式得到：设，则，于是就有：。7、证：结论是在上一致连续。证明如下：首先，对于任意大于1的正数K，在[0,K]上连续，所以一致连续。另一方面，当时，，故在上一致连续，注意到，所以在上是一致连续。或者注意到对任意，成立，由此，即可得到在上是一致连续。8、解：首先把积分区域D分割成三块，设，，，则7。9、解：由于，于是，因此由分部积分法就有：，故，，，所以。10、解：（1）当时，在点处是连续的；当时，即，由于：，所以在点处也是连续的。（2）通过偏导数的定义具体计算知道：两个

4、偏导数在都是连续的，在处不连续。7（3）当时，在点处是可微的；由于当时，的极限不存在，所以在处不可微。11、解首先用数学归纳法可以证明，于是存在，在递推关系两边取极限解出，于是就有由于级数是收敛的，所以由比较原理就知级数也是收敛的。12、证：（1）由于，故对，存在，当时，就有，即。根据Lagrange微分中值定理知道，其中，于是就有：当充分大时，。同理，，其中，于是就有：当充分小时，。由于在区间[a,b]上连续，故根据连续函数的零点定理就知方程在内至少有一个实根。（2）如果，则命题结论显然成立。

5、如果不恒等于零，则存在，使得，由于，于是对，存在，当时，就有。于是在区间上连续，则必存在最大值或最小值，其最大值点或最小值点（设为）必然在区间，7由于当时，就有，故必是极值点，由于在区间内存在，所以。因此方程在内至少有一个实根。7