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1、华南理工大学数学分析2011-2013考研解答1.($12'$)求极限$dps{lim_{ntoinfty}sqrt{n}sex{sqrt[4]{n^2+1}-sqrt{n+1}}}$.解答:$$beexbeambox{原极限}&=lim_{xto0}sqrt{frac{1}{x}}sex{sqrt[4]{frac{1}{x^2}-1}-sqrt{frac{1}{x}-1}}\&=lim_{xto0}frac{sqrt[4]{1+x^2}-sqrt{1+x}}{x}\&=lim_{xto0}sez{frac{1}{4}(1+x^
2、2)^{-frac{3}{4}}cdotfrac{1}{2}(1+x)^{-frac{1}{2}}}\&=-frac{1}{2}.eeaeeex$$2.($12'$)确定函数项级数$dps{sum_{n=1}^inftyfrac{x^2}{n}}$的收敛域,并求其和函数.解答:由$a_n=1/n$知收敛半径为$R=1$.又$dps{sum_{n=1}^inftyfrac{x^2}{n}}$当$x=-1$时收敛,当$x=1$时发散,而收敛域为$[-1,1)$.另外,在收敛域范围内,$$bexsum_{n=1}^inftyfrac{x^2}{n}=su
3、m_{n=1}^inftyint_0^xt^{n-1}rdt=int_0^xsum_{n=1}^inftyt^{n-1}rdt=int_0^xfrac{1}{1-t}rdt=-ln(1-x).eex$$3.($12'$)设函数$finC^2(bbR)$,且$$bexf(x+h)+f(x-h)-2f(x)leq0,quadforallxinbbR,quadforallh>0.eex$$证明:对$forallxinbbR$,有$f''(x)leq0$.证明:由$$bex0geqlim_{hto0}frac{f(x+h)+f(
4、x-h)-2f(x)}{h^2}=lim_{hto0}frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=f''(x)eex$$即知结论.4.($12'$)设$beta>0$且$$bexx_1=frac{1}{2}sex{2+frac{beta}{2}},quadx_{n+1}=frac{1}{2}sex{x_n+frac{beta}{x_n}},=1,2,3,cdots.eex$$试证数列$sed{x_n}$收敛,并求其极限.证明:(1)$$bexx_n=frac{1}{2}sex{x_{n-1}+frac{beta}{x_{n-1}}}
5、geqsqrt{beta},quadn=2,3,cdots.eex$$(2)设$f(x)=(x+beta/x)/2$,则$f'(x)=(1-beta/x^2)/2$,而当$xgeqsqrt{beta}$时,$0leqf'(x)<1/2$.由此,$sed{x_n}$为压缩数列,是收敛的.令$x_ntoalpha$,则$$bexalpha=frac{1}{2}sex{alpha+frac{beta}{alpha}}raalpha=sqrt{beta}.eex$$5.($12'$)求极限$$bexlim_{ntoinfty}int
6、_{-pi/2}^0cos^nxrdx.eex$$解:由$$bexsev{int_{-pi/2}^0cos^nxrdx}=sev{int_{-pi/2}^{-delta}+int_{-delta}^0cos^nxrdx}leqfrac{pi}{2}cos^ndelta+delta,quad(forall 7、:$$bexmbox{原极限}=lim_{xto0+0}sqrt{frac{x}{1+xtanx-sqrt{cosx}}}=sqrt{lim_{xto0+0}frac{1}{tanx+xsec^2x+frac{sinx}{2sqrt{cosx}}}}=+infty.eex$$7.($13'$)设函数$g(x,y)$在$(0,0)$点可微且在该点的函数值及微分为零,定义函数$$b
