兰州大学2010年数学分析考研试题及解答

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1、兰州大学2010年数学分析考研试题1求极限。2求定积分。3设，求和。4计算积分。5设是柱面与平面的交线（），且从轴正向看为逆时针方向。计算积分。6设，为单位球面，计算积分。7设实函数，讨论的连续性，并说明是否可在处定义的值，使得在该点可导。8已知函数在上有二阶导数，并且，。记的图像曲线为，过上点引切线，证明：当变动时，由该切线与曲线以及直线，围成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值。9用一致连续的定义验证在上不一致连续。10在区间上，函数定义为，讨论在上的Riemann可积性。11设在闭区间上的

2、连续可导函数，记，假设，且对，有，证明：是有限集。12设是有界闭集，是上的连续函数，证明：在上有界，且一定取到最大值和最小值。6兰州大学2010年数学分析考研试题解答1解。2解,。3解当时，，，6，，，而，。4解原式。5解设，，，利用Stokes公式，得6。6解，，，。7解当（为整数）时，，而为的第二类间断点，而为的可去间断点，可定义，使得在处连续。且6。即在处可导。8解根据题设条件之，为上凸函数，根据题意所指面积，,当时，；当时，；当时，，所以在处达到最小值，。9取，，尽管有，但，，故在上不一致

3、连续。610解由，知，，，对正整数，当，，当，，，。于是，的间断点为是可数集，且只有唯一聚点，所以在上是Riemann可积的。对任意，显然在是Riemann可积的。对于上的任意分割，记为在区间上的振幅，，，由此可推知在上是Riemann可积。11证明用反证法。假若是无限集，则存在，使得，，，，由在上连续，有，即，由题设条件，存在介于与之间，，使得，在上连续，于是，矛盾。所以假设不成立，故结论得证。12证明书上的定理有证明。6