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《兰州大学2005年数学分析考研试题及解答.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯兰州大学2005年数学分析考研试题及解答一、判断题1设数列数{xn}满足：对任意正整数p，lim(xnpxn)0，则{xn}收敛。n解错。例如：对xn1p，就有，对任意正整数k1klim(xnpxn)lim(1...1)0，nnn1np但{xn}发散。2设f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上一定有原函数。解错。例如：f(x)1,0x1，显然f(x)在[1,1]上可积，但不存在F(x)在[1,1]上可导，1,1x0且F(x)f(x)，x[1,
2、1]，的函数F(x)，即f(x)在[1,1]上不存在原函数。3设f(x)在区间[a,b]上处处可导，则f(x)在[a,b]上一定Riemann可积。解错。21例如：f(x)xsinx2,0x1，显然f(x)在[0,1]上连续，f(x)在[0,1]上可积，0,x0f(x)在[0,1]上处处可导，121f(x)2xsinx2xcosx2,0x1，0,x0但f(x)在[0,1]上无界，f(x)在[0,1]上不可积。4若二元函数f(x,y)在(x0,y0)点可微，则f(x,y)在(x0,y0)点的所有方向导数都存在。解正确。已有的定理结论。5设积分f(x)dx收敛，g(
3、x)是[a,)上的单调有界函数，则f(x)g(x)dx收敛。aa解正确。这就是著名的Abel判别法。二计算题。nk1求lim2。nnnkk11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1nnk1n解由kk，nnk1k1n2nkn2n2n1k11n(n1)nk1n(n1)，2nk1n2n22nkn2n12及夹逼定理，知nk1。lim2kk1nn2n12求lnxdx。01(xlnx11。解lnxdxx)003求级数(1)n2n1x2n的收敛域与和函数。n1n解记un(x)(1)n2n1x2n，则limun1(x)x
4、2，(x0)，nnun(x)当x1时，原级数绝对收敛；当x1时，原级数发散；当x1时，原级数发散。所以该幂级数的收敛域为(1,1)，(1)n2n1x2n2(x2)n(x2)nn1nn1n1nx2x222tndt1xn002x2x2tndt201xn02x2x2120dt1x1t2x2ln(1x2)，(x1)1x24级数积分Ixdyydx，其中C为椭圆22321沿逆时针方向。C3x24y2xy2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解P(x,y)2y2,Q(x,y)2x2，4y3x4y3xQP，(x,y)(0
5、,0)xy取0任意小，C:3x24y22，则Ixdyydx4y2C3x2xdyydxC3x24y212xdyydxC122dxdy3x24y22122433。5求xdydzydzdxzdxdy，其中是yoz平面中的曲线yz2线绕y轴所生成的旋转曲面在0y1的部分的外侧。解{(x,y,z):x2z2y1}，1{(x,y,z):x2z21,y1}，由高斯公式，得xdydzydzdxzdxdy()(xdydzydzdxzdxdy)113dxdydzdzdxx2z2131(y)2dy03121。23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3叙述函数列{fn(x)}在I上不一致收敛到f(x)的分析定义，并用定义证明fn(x)xn在[0,1]上不一致收敛。解函数列{fn(x)}在I上不一致收敛到f(x)的分析定义：存在00，对任意正整数N，存在nNN,xnNI,使得fnN(xnN)f(xnN)0，fn(x)xn在[0,1]上不一致收敛。事实上，f(x)limfn(x)0,0x11,x1，n而fn(11)f(11)(11)ne1，所以fn(x)xn在[0,1]上不一致收敛。nnn4设f(x)在[a,)上一致连续，(x)在[a,)上连续，且lim(f(x)(x))0。n证明：(x)
7、在[a,)上一致连续。证明令F(x)f(x)(x)，则F(x)在[a,)上连续，又limF(x)存在，所以F(x)在x[a,)上一致连续，故(x)f(x)F(x)在[a,)上一致连续。5设平面xyz3截三轴于A,B,C三点，O为坐标原点，P(x,y,z)是三角形ABC上一点，以OP为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，试求其最大体积。解以OP为对角线，三坐标平面为三面的长方体体积xy33Vxyzz331，3其中等号成立当且仅当xyz1，V1。最大6设f(x)是闭区间[a,b]上的连续可导函数，记f1(0){x[a,b]:f(x)0}，假设f1(0),且对xf1(
8、0)，成立f(x)0，证
