2007年北京大学数学分析考研试题及解答

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1、例5.3.39设，是的实根，求证：，且。证明（1）任意，当时，有；当且充分大时，有，所以的根存在，又，严格递增，所以根唯一，。（2）任意，，所以的根，（）。因为若时，的根，不趋向于。则存在，使得中含有的一个无穷子列，从而存在收敛子列，（为某有限数）；，矛盾。例、设，讨论级数的收敛性。解显然当时，级数发散；由，得，（充分小），于是，（充分大）（1）当时，，收敛，收敛，，收敛，绝对收敛；10（1）当时，收敛，收敛，于是收敛，从而收敛，收敛，而发散，由，得发散，所以发散，故此时条件收敛。（2）当时，发散，而收敛

2、，此时发散。北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。证明这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。命题：若在上连续，且，那么必然存在一点，满足。采用反正法，若对于任意点，有，那么显然对于任意，仍然有。由于的连续性，我们对于任意一点，可以找到一个邻域，使得在中保号，那么区间被以上形式的，开区间族所覆盖，由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间就能覆盖闭区间，再由覆盖定理的加强形式可得，存在，满足当，时，存在中的某个开集同时覆盖。那么我们就证明了当时，有同号；现

3、取正整数，满足，令，，那么我们有，与同号，从而证明了与同号，即与10同号，这与题目中的矛盾，证明完毕。2、设在有限区间内一致连续，证明：也在内一致连续。证明首先证明都在上有界，因为在有限区间内一致连续，从而存在，满足当此，时，有，现取正整数，满足，令，；对任意，存在，使得，，即得在上是有界的；同理在上也是有界的；下面证明，若在区间上有界，且都一致连续，则在区间上一致连续。设，满足，;那么由得一致连续性得到，对于任意，存在，使得当，时，有，从而，即得在上一致连续。103、已知在上有四阶导数，且有，证明：存在

4、，使得。证明不妨设（这是因为否则可以考虑，而的三、四阶导数与的相同）。从而我们要证明存在，使得。下面分两种情形来证明之，（1），当，由带Peano余项的Taylor展开式，我们得到，那么在足够小的邻域内有，取，满足，不妨设，由于，那么存在，使得，从而取，；当时，同理可得；（2），那么有，，可以同样Taylor展开，，做法与（1）相同，证毕。4、构造一个函数在上无穷次可微，且，，并说明满足条件的函数有任意多个。解构造函数项级数，显然此幂级数的收敛半径为，从而可以定义函数：，容易验证此函数满足：，，考虑到函数

5、，10由我们熟知的结论知，在上无穷次可微，且，从而也满足题目要求条件，为任意常数，结论得证。5、设，是上的连续函数，证明满足的点有无穷多个。证明设，。那么我们有，，，下面分两种情况讨论：（1）若或有一个成立时，当，我们有，，从而有，，从而为常数，此时结论显然成立；当时，我们有，，从而为常数，此时结论显然成立；（2）我们可以选取无穷多条连接和的不相交的连续曲线，；显然连续，，由连续函数的介值定理，存在，，使得，即，结论得证。6、求，其中是，方向向上。解法1设，10，；；。解法2记，，利用高斯公式，得10。7

6、、设是上的连续函数，试作一无界区域,使在上的广义积分收敛。解首先取，使得，满足；再选取，使得，满足；依次选取，使得，满足，取，是一个无界区域，可以验证在上的广义积分收敛。8、设，讨论不同的对在上积分的敛散性。解显然在时，发散，下面只对时讨论。由，当时，收敛，时，发散，当时，发散；时，收敛；10当时，收敛；所以（1）当时，由，得绝对收敛；（1）当时，，（充分大），收敛，，由于发散，此时，发散，于是发散，而，收敛，收敛；故当时，条件收敛；（3）时，，（充分大）；由于发散，于是发散，而收敛，故此时发散。9、记，

7、是否存在以及函数在上可导，且，。解首先由级数在内是收敛的，且是内闭一致收敛的；显然；分别把看成的函数，由于对逐项求导后的形式为和两者都在，（为任意大于0的常数）内都是一致收敛的。10从而可在的某个邻域的偏导数可以逐项求导，存在，且是连续的，又有，到这里我们已经验证了隐函数定理的三条件：（1），为刚刚解答中的某个邻域，（2），（3），从而根据隐函数定理可知存在这样的满足题目中的条件，结论得证。事实上，，显然，是方程的唯一解。10、设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是。证明在这里我们只证

8、明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）。记为的傅里叶系数；为的傅里叶系数，先证充分性：设，那么显然，从而，同理；再证必要性：若的傅里叶展开式有相同的系数，从而得傅里叶系数都为0，因为在上黎曼可积，从而，在上黎曼可积。10由等式，我们得到，而又由不等式得到，从而，这就证明了必要性。10