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《浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浙江大学2000年数学分析考研试题及解答一、（1）求极限；解；或。（2）设，，求.解由条件，得，反复使用此结果，；于是，；26，，当时，；当时，不存在。二、（1）设在可导，，证明：.证明由,得对任意,存在,当时,成立;因为,对上述及确定的,存在正整数,当时,便有,,,于是,,从而,即得,故有.(2)设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得.证明：由于.作辅助函数,于是.在上对运用拉格朗日中值定理,,使得.26再在上对运用拉格朗日中值定理,,使得.三、（1）求幂级数的和，求级数的和。解由于，由于，所以的收敛半径；为了求出它的和，对幂级数，逐项求导数，就
2、有，因而，。在上式中取，就得。(2)、证明黎曼函数在内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。（这种性质，也称为无穷次可微。）证明令，26显然，，，，都在上连续；对任何，当时，，，，而收敛，所以，，，（）都在上一致收敛，故在内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。26由于是任意的，所以在内是连续的，并在这区间内有任意阶连续导函数。显然在内非一致收敛，在内不一致连续。假若在内一致连续，则有存在且有限，在中令，取极限，得，，矛盾。四、（1）设方程组确定了可微函数试求。解由解出,;就可得.（2）设，求。解,26.五、若在[0，1]上连续，证明;由此计算
3、.证：作变量替换，有.解上述方程，就得到所证结论.利用此公式可得：于是===.（2）求以为顶，以为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积。解设，则26。（3）求曲面积分，其中是半球面的上侧。解记，（取下侧），则，由高斯公式知，。六、（1）设是周期为的函数，且，；写出它的傅里叶级数.（2）将，展开成Fourier级数，（3）求的和；（4）计算.解（1）由傅里叶系数的定义,注意到是偶函数,,用分部积分法计算，26,，所以.（2）由（1）的结果及展开定理，容易知道，；（3）在上式中取得，；因为，所以。（4）,由,知对于任意在上一致收敛于，且，;根据逐项积分定理，可
4、以逐项积分，26，又，故.浙江大学2001年数学分析考研试题及解答一、（1）用“语言”证明。证明因为，，，对任意给定的，解不等式，得，只要取，26当时，便有，于是。（2）求极限。解，由，，得。（3）设，且，求。26解由题设条件，知，从而，故。二、设是可微函数，且满足，求。解在中，取，得，在方程两边对求导数，得，取，得。三、在极坐标变换，之下,变换方程.解，，;26，于是；从而原方程化为，或。四、（1）求由半径为的球面与顶点在球心，顶角为的圆锥面所围成区域的体积，（）。解建立适当的空间直角坐标系，可设球面方程为，顶角为的圆锥面为，两曲面在上半空间的交线方
5、程为，，记，由上下对称性，曲面所围区域的体积为26.（2）求曲面积分，其中是曲面的上侧。解记，（取下侧），则，由高斯公式知，。五、设二元函数在长方形区域上连续，（1）试比较与的大小并证明之；26（2）给出一个使等式成立的充分条件并证明之。解（1）显然对任意，成立，从而，，进而；（2）六、设是定义在上的连续函数列，且，（1）；（2）对任意，在上一致收敛于零.求证：对任意上的连续函数，成立.证明：由题意，知（1）在上连续，从而有界，，使得，（2）由，知，使得当时，；（3）在处连续，而有，，使得时，有；（4）对于上述的，在上一致收敛于零，而有对上述，,使得当
6、，时，，取，当时，26,从而，又，于是结论得证.六、设，，证明：（1）；26（2）对任意，在上一致收敛于零.（3）设是可积函数且在处连续，成立.证明因为，所以。浙江大学2002年数学分析考研试题及解答一、1、用“语言”证明。证明，当时，我们有，，26于是当时，有，对，取，当时，都有，这就证明了。2、给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之。解Riemann函数：，对于任意实数，证明。Riemann函数是在历史上非常著名的函数，说明过一些重大问题，发挥过重大作用。对，互素，所以只有，26，（在处的值是惟一确定的。）函数是以1为周期的周
7、期函数。事实上，当为无理数时，亦是无理数，由定义知，，；当为有理数时，，互素，，互素，由定义知，，，故有，。证明对任意给定的，取充分大的正整数，使得。容易知道，在区间中，使得的分数只有有限多。（因为对每一个，不等式26只有有限多个整数解。）因此总能取到充分小的，使得中的有理数的分母。故当无理数满足时，则；当有理数满足时，必有，因而，这就证明了。从而可知，此函数在有理点都不连续，在无理点都连续。3、设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在点处可微”与“在点的某邻域内偏导数，都存在”之间的关系，必要时，请举出反例。解（1）若在处可微，则在处的两个偏导数必存在
8、，且；但不能推出在点的某邻域内偏导数，都存在。例如设二元函数，其中，函数在原点处连续，在原点处
