2、余类共有b个。这样整数就被分成b类。比如，一个整数被2除时的余数只能是0和1，所以整数可分为两类，即余数为0的偶数，记为2k，余数为1的奇数，记为2k+1，其中k为任意整数。一个整数被3除时的余数只能是0和1，2，所以整数可分为三类，即被3整除的一类，记为3k，被3除余1的一类，记为3k+1，被3除余2的一类，记为3k+2，其中k取任意整数。二、同余的概念两个整数a与b除以整数m（m>0），如果余数相同，则称a与b关于模m同余。并用下面的同余式表示a≡b(modm).a≡b(modm)óa=b+km,
3、(k∈N)óm
4、(a-b).同余的概念和记号都是德国数学家高斯在他的名著《算术研究》（1801年）中引进的，是研究数论的重要工具。三、同余的性质1.（反身性）a≡a(modm)；2.(对称性)如果a≡b(modm)；那么b≡a(modm)；3.（传递性）如果a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm)；4.如果a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±b≡c±d(modm)；5.a+b≡c(modm)当且仅当a≡c-b(modm)；6.如果a≡b(modm),c≡d(modm)
5、,那么ac≡bd(modm),an≡bn(modm),(n为正整数)，ak≡bk(modm)(k为正整数)。例1从自然数1，2，3，…otherstaffoftheCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangxi,andDirectorofthenewOfficeinJingdezhen,JiangxiCommitteeSecretary.Startingin1939servedasrecorderoftheWestNorthOrganization
6、,SecretaryoftheSpecialCommitteeAfterthevictoryofthelongMarch,hehasbeentheNorthwestOfficeoftheFederationofStateenterprisesMinister,ShenmufuguSARmissions,DirectorofNingxiaCountypartyCommitteeSecretaryandrecorderoftheCountypartyCommitteeSecretary,Ministers
7、and，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【解】设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数，依题意任意三个数之和能被18整除，则a+b+c,a+b+d也能被18整除。设a+b+c=18q1,a+b+d=18q2（q1,q2∈N）相减得c-d=18(q1-q2),所以18
8、（c-d）,所以c≡d(modm).由于c,d的任意性，说明所取的每一个数除以18所得的余数均想同。设a=18a1+r,b=18b1+r,c=18c1+r,其中a1,b1,c1∈N,0≤r＜18
9、,a+b+c=18(a1+b1+c1)+3r.因为18
10、（a+b+c）,所以18
11、(3r),即6
12、r,所以r=0,6,12.因此，需要从1，2，3，…，1000这1000个数中把被18整除的数和被18除余6，余12的数全部取出来。因为1000÷18=55……10所以，最多取出55+1=56个符合要求的数，它们分别是6，24，42，…，996.如果取被18整除的数或被18除余12的数，则只能取出55个.例2证明任意平方数除以8的余数为0，1，或4.（这是平方数的重要特征）【证明】对整数分类讨论：（1）若
13、n=2k+1,k∈N,则n2=(2k+1)2=4k2+4k(k+1)+1.因为k(k+1)为偶数，所以8
14、4k（k+1）,所以n2≡1(mod8).(2)若n=2k,k∈N,则n2=4k2.①当k=2t,t∈N时，n2=4k2=4(2t)2=16t2≡0(mod8)②当k=2t+1,t∈N时，n2=4k2=4(2t+1)2=4(4t2+4t+1)=16(t2+t)+4≡4(mod8).所以n2≡0(mod8)，或n2≡1(mod8)，或n2≡4(mod8
